¿Cómo se ve?

Question

Se trata de una pregunta complementaria a la que pregunta.

Que $2 = {0,1}$ ser dotado de la topología discreta. Mi intuición fue la siguiente:

Que $e_\mathbb{N}: \mathbb{N} \to 2^{2^{\mathbb{N}}}$ ser el "mapa de la evaluación", es decir, se da por %#% $ #%

¿$$e_\mathbb{N}(n): f\in 2^\mathbb{N}\mapsto f(n).$ Puede ser descrita explícitamente? (Sé que esto es un poco una pregunta unexact y "mano-ondulado", pido disculpas).

Answer 1

Para cada una de las $n \in \mathbb N$ deje $\mathfrak e_n : 2^{\mathbb N} \to 2$ ser la evaluación mapa en $n$; es decir, $\mathfrak e_n (f) = f(n)$ por cada $f \in 2^{\mathbb{N}}$. Dejando $A = \{ \mathfrak{e}_n : n \in \mathbb{N} \}$, la wwe está buscando para $\overline A$ en $2^{2^{\mathbb N}}$.

Dado cualquier $\mathfrak f \in 2^{2^{\mathbb N}}$, un barrio de base para $\mathfrak f$ se describe como sigue. Para $f_1, \ldots , f_k \in 2^{\mathbb N}$, definir $$U_{\mathfrak f;f_1,\ldots,f_k} = \{ \mathfrak g \in 2^{2^{\mathbb N}} : ( \forall i \leq k ) ( \mathfrak g (f_i) = \mathfrak f (f_i) ) \}.$$ Then $\{ U_{\mathfrak f;f_1,\ldots,f_k} : f_1 , \ldots , f_k \2^{\mathbb N} \}$ constitutes a neighborhood basis for $\mathfrak f$.

Ahora $\mathfrak f \in \overline A$ fib $A \cap U_{\mathfrak f;f_1,\ldots,f_k} \neq \emptyset$ para todos los $f_1 , \ldots , f_k \in 2^{\mathbb N}$. Es decir, dado cualquier $f_1 , \ldots , f_k \in 2^{\mathbb N}$ hay un $n \in \mathbb N$ tal que $\mathfrak e_n \in U_{\mathfrak f;f_1,\ldots,f_k}$ o, dado $f_1 , \ldots , f_k \in 2^{\mathbb N}$ hay un $n \in \mathbb N$ tal que $\mathfrak f (f_i) = \mathfrak e_n(f_i) = f_i(n)$ para todos los $i \leq k$. Poner esto en palabras, $\mathfrak f \in \overline A$ fib $\mathfrak f$ está "en todas partes localmente una evaluación mapa en algunas $n \in \mathbb{N}$".

Esta descripción es, probablemente, no es tan simple como te gustaría, pero podemos obtener un poco fuera de este.

• Ni la función constante pertenece a $\overline A$. (Dada la constante $\mathfrak{f} : f \mapsto j$, considere la función constante $f : n \mapsto 1-j$.)
• Dado $f \in 2^{\mathbb N}$, vamos a $\hat f$ el valor del complemento de $f$: $\hat f(n) = 1 - f(n)$ para todos los $n \in \mathbb N$. Si $\mathfrak f \in \overline A$,, a continuación, $\mathfrak f(\hat f) = 1 - \mathfrak f(f)$ para todos los $f \in 2^{\mathbb N}$. (Da $f$ hay un $n$ tal que $\mathfrak f(\hat f) = \hat f(n)$ e $\mathfrak f(f) = f(n)$. A continuación,$\mathfrak f(\hat f) = \hat f(n) = 1 - f(n) = 1 - \mathfrak f(f)$.)
• En un poco más de generalidad que el punto anterior, supongamos $f_1, \ldots , f_k$ es una "partición de la unidad", es decir, para cada una de las $n \in \mathbb N$ exactamente uno de $f_1(n), \ldots , f_k(n)$ es $1$. Si $\mathfrak f \in \overline A$,, a continuación, $\mathfrak f(f_i) = 1$ por exactamente un $i \leq k$.
• Definir un orden parcial $\preceq$ a $2^{\mathbb N}$ por $f \preceq g$ fib $f(n) \leq g(n)$ para todos los $n \in \mathbb N$. Si $\mathfrak f \in \overline A$,, a continuación, $\mathfrak f$ es no decreciente con respecto a $\preceq$. (Da $f \preceq g$ hay un $n$ tal que $\mathfrak f(f) = f(n)$ e $\mathfrak f(g) = g(n)$. A continuación,$\mathfrak f(f) = f(n) \leq g(n) = \mathfrak f(g)$.)

Answer 2

El cierre es exactamente el ultrafilters en $\mathbb{N}$. Para ser precisos, si $U$ es un ultrafilter en $\mathbb{N}$, vamos a $e(U)\in 2^{2^\mathbb{N}}$ ser su función característica (tenga en cuenta que $e_\mathbb{N}(n)$ es sólo $e(U_n)$ donde $U_n$ es el principal ultrafilter en $n$). Entonces me afirmación de que el límite de $e_\mathbb{N}(n)$ a lo largo de $U$ es $e(U)$. De hecho, para cada $S\in 2^\mathbb{N}$, $\{n:e_\mathbb{N}(n)(S)=1\}\in U$ iff $S\in U$ (ya que el conjunto es exactamente $S$). Puesto que cada punto en el cierre de la imagen de $e_\mathbb{N}$ debe ser un límite de algunos de ultrafilter, este es todo el cierre.

(Desde la perspectiva de la Piedra de la dualidad, este cierre es la Piedra espacio de la álgebra de boole $2^\mathbb{N}$, y su integración en $2^{2^{\mathbb{N}}}$ es la canónica de incrustación).