Si $F$ ser un campo y, a continuación, $F[x]$ es un director ideal de dominio. Qué $F$ tiene que ser necesariamente un campo?
Mis Pensamientos: Supongamos que en lugar de $F$, tomamos el conjunto de los polinomios de $R[x]$ sobre un anillo conmutativo $R$ con la unidad.
Entonces, Supongamos $I$ es un ideal de $R[x]$. Deje $g(x) \in I$ tal que $g(x)$ es el polinomio de menor grado en $I$.
Entonces: $ \langle g(x) \rangle \subseteq I .......... (1)$
Deje $f(x) \in I$. A continuación, $f(x) = p(x)g(x) + r(x)~~|~~p(x),r(x) \in R[x], \deg r(x) < \deg g(x)$
Ya, $I$ es un ideal $\implies f(x) - p(x)g(x) = r(x) \in I$
Pero, $g(x)$ es el más bajo grado en $I \implies r(x) = 0 \implies f(x) \in \langle g(x) \rangle \implies I \subseteq \langle g(x) \rangle ......(2)$
Luego de $(1),(2) : I = \langle g(x) \rangle$
La Presencia de los divisores de cero en $R[x]$ realmente hacer una diferencia? La única ventaja que veo es que si no hay divisores de cero en $R[x]$ entonces $I=\{0\} \implies I= \langle 0 \rangle$.
Pero, cada ideal que contiene el elemento cero. ¿Por qué existe la condición de un campo dado específicamente en los libros de texto para $F[x]$ a ser un director ideal de dominio?
Gracias por su ayuda.
