¿Puedo inscribir a un tetraedro regular a un toro?

Question

¿Qué tipo de tetraedros regulares podemos inscribir en un toro?

Por ejemplo, es posible inscribir una unidad de longitud de la arista tetraedro regular a un husillo de toro con radio mayor $R=\frac{\sqrt 2}2$ y el radio menor $r=\frac{\sqrt 3}2$?

A mí me parece que tal inscripción debe ser factible para cualquier $R$ e $r$ dentro de un rango razonable, pero estoy teniendo un momento muy difícil de imaginarlo; espero que alguien con algo de conocimiento/visión en la geometría espacial puede responder a esta desde la parte superior de su cabeza.

Answer 1

Una solución tiene los vértices: $$\begin{array}{ccc} (-0.42, & \ \ \, 0.28, & 0.84 )\\ (-0.03, & -0.16, & 0.04 )\\ (-0.19, & -0.69, & 0.87 )\\ (\ \ \, 0.54, & \ \ \, 0.00, & 0.85 )\\ \end{array}$$ que conducen a este punto de vista mirando hacia arriba a la región con $z>0$:

Esto viene de Mathematica usando NMinimize, que, sorprendentemente, funcionó mejor que NSolve o FindInstance. El código es el siguiente, y usted podría obtener otras soluciones mediante la rotación de esta o por la adición de un término como $(a_2-\frac32)^2$ a la suma de los cuadrados.

xyz[a_, b_] := {(Sqrt[2] + Sqrt[3] Cos[b]) Cos[a],
     (Sqrt[2] + Sqrt[3] Cos[b]) Sin[a], Sqrt[3] Sin[b]} / 2

d[t_, u_, v_, w_] := (xyz[t, u] - xyz[v, w]).(xyz[t, u] - xyz[v, w])

sol = NMinimize[
     (d[a1, b1, a2, b2] - 1)^2 + (d[a2, b2, a3, b3] - 1)^2 + 
     (d[a3, b3, a1, b1] - 1)^2 + (d[a1, b1, 0, b0] - 1)^2 +
     (d[a2, b2, 0, b0] - 1)^2 + (d[a3, b3, 0, b0] - 1)^2,
     {a1, a2, a3, b1, b2, b3, b0}][[2]]

Round[{xyz[a1, b1], xyz[a2, b2], xyz[a3, b3], xyz[0, b0]} /. sol, .01]

tetra = ListPlot3D[{xyz[a1, b1], xyz[a2, b2], xyz[a3, b3], 
     xyz[0, b0]} /. sol, PlotTheme -> Business, 
     PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 2}, {0, 1}}]

torus = ParametricPlot3D[xyz[a, b], {a, 0, 2 Pi}, {b, 0, 2 Pi}, 
     PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 2}, {0, 1}}]

Show[tetra, torus]