Movimiento browniano en una caja

Question

Se dice a menudo que el movimiento Browniano de una partícula en una caja, por lo tanto un dominio finito, es descrito por una uniforme distribución de probabilidad en el antiguo límite. Uno puede fácilmente imaginar que este tal vez intuitivamente, pero hay una manera fácil de mostrar esto? ¿Cómo es que a pesar de que hay límites, no hay sesgo que se introduce en el antiguo límite de donde la partícula puede estar en la caja?

Si uno asume que la discreta caso, para que la caja se llena con sólo un número finito de puntos de la Browniano de las partículas puede ocupar, hace la declaración anterior todavía se mantienen? Por favor, siéntase libre de dar las referencias que usted ve ajuste para este tipo de preguntas, me imagino que estos son todos los problemas solucionados y es por eso que la mayoría de las personas a menudo dicen ellos usando el adverbio trivialmente.

Answer 1

Me decidí a ejecutar una simulación simple de la unidimensionalidad de paseo aleatorio en celosía con el cierre de la condición de frontera. Para aplicar las condiciones de contorno, yo, básicamente, se ven obligados a "dar vuelta" la partícula cada vez que se llega a los límites del segmento.

Me tomó cada celosía sitio que ser un número entero, y los límites a ser a $[-L,L]$. Este es el resultado de $L=50$ e $10^8$ pasos:

Así, se ve como en este sencillo entramado modelo de la distribución es uniforme en todas partes, excepto desde los límites del segmento, es decir, es uniforme en $(-L,L)$.

No sé si este aún se mantiene en un modelo continuo, también porque se hace más complicado hacer la simulación de esta manera, debido a que la partícula puede nunca realmente golpeó el límite, así que es posible que el resultado depende de cómo las condiciones de contorno se aplican exactamente.