Convergencia de métricas

Question

Deje $U\subset\mathbb{R}^2$ ser un barrio de origen y dejar $f_n:U\rightarrow \mathbb{R}_{>0}$, $n\in \mathbb{N}$ ser una secuencia de funciones diferenciables que converge uniformemente en $U$ a una función integrable $f:U\rightarrow \mathbb{R}_{>0}$.

Revisión de dos puntos $p_1,p_2\in U$ y llame a $\Gamma= \Gamma_{p_1}^{p_2}$ el conjunto de diferenciables caminos $\gamma:I\rightarrow U$, $\gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t))$, tal que $\gamma(0)=p_1$, $\gamma(1)=p_2$ y $\gamma(I)\subset U$.

Para cada $\gamma\in \Gamma$ estoy bastante seguro de que es cierto: $$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1\sqrt{f_n(\gamma(t))(\dot\gamma_1^2+\dot\gamma_2^2)}dt=\int_0^1\sqrt{f(\gamma(t))(\dot\gamma_1^2+\dot\gamma_2^2)}dt,$$ dado que las funciones $f_n$ convergen uniformemente.

No estoy seguro de si también es cierto $$\lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{\gamma\en\Gamma}\int_0^1\sqrt{f_n(\gamma(t))(\dot\gamma_1^2+\dot\gamma_2^2)}dt = \inf_{\gamma\en\Gamma}\int_0^1\sqrt{f(\gamma(t))(\dot\gamma_1^2+\dot\gamma_2^2)}dt $$

Esta igualdad verdadera, o es que sólo se verifica en virtud adicional de hipótesis?

Answer 1

Esta igualdad es verdadera. Para cada una de las $\epsilon>0$, se puede elegir un camino de $\gamma$ entre $p_1$ e $p_2$ tal que $l_g(\gamma)< d_g(p_1,p_2)+\epsilon$. Desde $f_n$ converge a $f$ de manera uniforme, se puede escoger un $N>0$ tal que para cada una de las $n>N$ también hemos $l_{g_n}(\gamma)<l_g(\gamma)+\epsilon$. Por lo tanto,$d_{g_n}(p_1,p_2)\leq l_{g_n}(\gamma)<d_g(p_1,p_2)+2\epsilon$. Desde $\epsilon$ es arbitrarias, obtenemos $\lim_{n\to\infty} d_{g_n}(p_1,p_2)\leq g(p_1,p_2)$.

Desde el camino de $\gamma$ es compacto, $\frac{f_n}{f}$ converge a $1$ uniformemente a lo largo de $\gamma$. Por lo tanto, $l_{g_n}(\gamma)$ converge a $l_g(\gamma)$, lo que demuestra el opuesto de la desigualdad.

En más detalle, dado que los puntos de $p,q$, la secuencia de $d_{g_n}(p,q)$ converge a algún límite de $L>0$. Para las pequeñas $\epsilon>0$ insignificante en comparación con los $L$ elija $n$ lo suficientemente grande como para que $d_{g_n}(p,q)>L-\epsilon$. A continuación, para cada curva de $\gamma$ entre $p$ e $q$ tenemos $l_{g_n}(\gamma)>L-\epsilon$. En particular, si $\gamma$ es reducir a un mínimo la curva de $g$ sostenemos como arriba para conseguir que $L=d_g(p,q)$. Si $\gamma$ no es la minimización de elegir una lo suficientemente buena aproximación y argumentar como antes.

Answer 2

Quiero añadir más en dirección opuesta a prueba de Mikhail Katz respuesta

(1) Si $d_g(p,q) >\delta+d_n(p,q)$ para todos los $n$, no es $N_1$ s.t. $n>N_1\Rightarrow |f_n-f|<\varepsilon_1$

Si $c_n$ es una geodésica de $p$ a $q$ wrt $g_n$ luego \begin{align*} d_g (p,q) &\leq \int g(c_n',c_n')^\frac{1}{2} \\&\leq \int \sqrt{ g_n(c_n',c_n') +\varepsilon_1 h(c_n',c_n')} \\&\leq d_n(p,q) +\sqrt{\varepsilon_1} {\rm length}_h\ (c_n) \end{align*} donde $h=dx^2+dy^2$

Por lo tanto $$ \delta <\sqrt{\varepsilon_1} {\rm length}_h\ (c_n) $$

Que es $\lim_n\ {\rm length}_h \ (c_n) =\infty$ A $$ d(p,q) > d_n(p,q)=\int_0^{L_n} \sqrt{f_n(t)} dt $$ where $c_n(t)$ has unit speed wrt $h$ and ${\rm longitud}_h \ c_n=L_n$

Por lo tanto, si todos los $c_n$ es de $B^{h}(p,R)$ para algunos $R>0$, tenemos un punto de $p_n$ en $c_n$ s.t. $f_n(p_n)\rightarrow 0$ Esto contradice uniforme la convergencia

Así que no es de $p_n$ en $c_n$ s.t. $d_h(p,p_n)\rightarrow \infty\ \ast$

(2) Considerar la posibilidad de una secuencia de bola : Por $q_n\en B_{r_n}^{g_n} (p)$ there is a unique geodesic from $p$ to $q_n$ Nosotros tiene un reclamo que $\bigcap_n B_{r_n}^{g_n} (p)\supseteq B_r^h(p) $ : Si elegimos $q\in B_r^h(p) $,, a continuación, $\ast$ es imposible

Prueba de reclamación : Si no hay $q_n$ s.t. $d_h(p,q_n)\rightarrow 0$ and there are two geodesics from $p$ to $q_n$ wrt $g_n$ Este significa que ${\rm Rm}\ (g_n,s_n)\rightarrow \infty $ para un punto de $s_n$ todo $p$ Desde curvatura de $g$ todo $p$ está delimitado por encima de así que esto es imposible.