Integrar:

Question

Integrar %#% $ #%

Probé el método de sustitución ($$\int \frac{\sin(x)}{9+16\sin(2x)}dx$) y terminó encima de conseguir $\sin(x) = t$. No sé cómo seguir adelante.

También trató de sumando y restando $\int \frac{t}{9+32t-32t^3}dt$ en el numerador que me llevó a obtener $\cos(x)$$$\sin(2x) = t^2-1$\sin(x)+\cos(x) = t$.

No se puede averiguar cualquier otro método ahora. ¿Alguna sugerencia o consejos?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\int\frac{\sin(x)}{9+16\sin(2x)}\space\text{d}x=$$

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Use el ángulo doble fórmula $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$:

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$$\int\frac{\sin(x)}{32\sin(x)\cos(x)+9}\space\text{d}x=$$

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Sustituir $u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ y $\text{d}u=\frac{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2}\space\text{d}x$.

Entonces transformar el integrando con las sustituciones:

$\sin(x)=\frac{2u}{u^2+1},\cos(x)=\frac{1-u^2}{u^2+1}$ y $\text{d}x=\frac{2}{u^2+1}\space\text{d}u$:

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$$\int\frac{4u}{\left(u^2+1\right)^2\left(\frac{64u(1-u^2)}{(u^2+1)^2}+9\right)}\space\text{d}u=$$ $$\int\frac{4u}{9 u^4-64 u^3+18 u^2+64 u+9}\space\text{d}u$$