¿Se puede hacer cualquier primer número añadiendo algunos dígitos a la derecha?

Question

A pedir de otra manera: Se garantiza que cualquier secuencia de dígitos que estará en el comienzo de algunos de los números primos?

Sabemos, a partir del teorema de Dirichlet que hay un número infinito de valores de $n$ tal que $k*n+b$ es primo, mientras $k$ $b$ no comparten factores.

La adición de dígitos a la final de algunos de número de $k$ base $B$ puede ser escrita en la forma $k*B^{n} + b$. Se puede usar el del teorema de Dirichlet para la garantía de que esto va a generar algún número primo?

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Motivación: Esta es la forma de los llamados "ilegales de los números primos" se han encontrado, pero me gustaría estar familiarizado con la teoría de por qué funciona.

Answer 1

Yo también no veo cómo el uso de Dirichlet de la progresión aritmética teorema. Pero yo veo una fácil prueba usando el teorema de los números primos. Yo no veo más elemental todavía.

La solución es similar a esto. Tomar un número arbitrario $k$. Queremos demostrar que hay una natural $n$ de manera tal que el intervalo de $[k \cdot B^n, (k+1) \cdot B^n)$ contiene al menos uno de los prime. Vamos a demostrar que esto es verdad para todos los $n$ a partir de algunos $n_0$ (que puede depender de $k$, por supuesto).

En términos de la primer función de conteo, queremos mostrar que $\pi((k+1)B^n) > \pi(k \cdot B^n)$ donde $\pi$ es la principal función de conteo y $n$ es lo suficientemente grande.

Escoge un arbitrario $\varepsilon > 0$. El primer recuento de teorema, al $x$ es lo suficientemente grande, tenemos $1 - \varepsilon < \pi(x) \ln x / x < 1 + \varepsilon$. Entonces, cuando $n$ es lo suficientemente grande, tenemos $$ \begin{array}{rcl} \pi(k B^n) & < & (1+\varepsilon) \frac{k B^n}{\ln k + n \ln B} \qquad \text{and} \\ (1 - \varepsilon) \frac{(k+1)B^n}{\ln (k+1) + n \ln B} & < & \pi((k+1)B^n). \end{array} $$

Ahora, $\varepsilon$ es arbitrario. Permítanos pick $\varepsilon$ de tal manera que $(1 + \varepsilon) k < (1-\varepsilon)(k+1)$. Entonces, para $n$ lo suficientemente grande, tenemos $\pi(kB^n) < \pi((k+1)B^n)$, QED.

Answer 2

La respuesta a la pregunta del título es "sí" (y es verdad), pero no estoy seguro de si Dirichlet del teorema puede ser usada para probar.

En Sierpinski del libro ", Una Selección de Problemas en la Teoría de los Números", escribe:

"Si tenemos dos arbitraria secuencias de dígitos (en notación decimal) $a_1, a_2, \dots, a_m$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ donde $b_n = 1, 3, 7$ o $9$, entonces no existe arbitrariamente grandes números primos $p$ tal que la primera de las $m$ dígitos son, sucesivamente, $a_1, a_2, \dots, a_m$ y la última $n$ dígitos son, sucesivamente,$b_1, b_2, \dots, b_n$."

Él también dice que la prueba de que esto es difícil, aunque puede llevarse a cabo en un modo elemental, y se refiere a un artículo suyo:

"Sur les nombres estrenos ayant des chiffres initiaux et finales donnés", Acta Arith. 5 (1959), pp 1046-1047.