¿Hay una base ortogonal de $\mathbb{F}_{2}^{n}$ de cuyos vectores tienen una magnitud determinada?

Question

He estado tratando de construir una base ortogonal de $\mathbb{F}_{2}^{n}$ para un valor impar de $n$ que se compone de vectores que no sean $1$ (para evitar que la base estándar). En particular, para reflejar la Asunción en $n$, quiero asegurar que la base tiene sólo vectores con un número impar de $1$'s.

¿Es esto posible? He intentado demostrar lo contrario, sin embargo se han quedado sin ideas.

Answer 1

Si me denotan los vectores $w_{i}$ y, a continuación, sus complementos (que es el de los vectores obtenidos por el cambio de 1 y 0 en cada componente) por $v_{i}$ luego tengo una colección, el $v_{i}$, de peso vectores cuya intersección con cada uno de los otros es impar.

Tomando nota de que el peso de los vectores forman un subespacio vectorial de $\mathbb{F}_{2}^{n}$ de la dimensión de $n-1$ podemos deducir que debe haber una dependencia, y jugando alrededor podemos ver que $\sum v_{i} = \mathbf{0}$. Yo no puedo ver qué hacer, porque aunque esto no me da nada utilizable en el mundo de la $w_{i}$. Yo podría transformar la base, $v_{1}, ... v_{n-1}$, de esta $n-1$ espacio tridimensional en algo más de la forma canónica, sin embargo, bajo este cambio de base no veo que $v_{n}$ retener las propiedades que podrían ser útiles en la obtención de una contradicción.

Aunque tengo este método de pasar entre los casos de pares e impares de peso yo no puedo ver a un método inductivo. Hay algunas buenas isomorfismo del peso de vectores en la $\mathbb{F}_{2}^{n}$ a$\mathbb{F}_{2}^{n-1}$, lo que permitirá a algún tipo de inducción? Yo no puedo ver algo que obviamente preservar pesos/intersecciones suficiente para formular algún tipo de paso inductivo.

Como se ha señalado anteriormente, el original, el resultado es true si permitimos que peso 1 vectores (es decir, el estándar de base), y por lo que parece que si el resultado es false sería posible derivar una contradicción en este punto de la instalación, sin embargo no puedo ver.