cohomología de T_X en superficies K3

Question

Estoy empezando a estudiar las superficies K3, ¿conoces algunos libros sobre el tema que yo pude leer?

En particular necesito las pruebas de que complejos k3% superficie $X$es $H^0(X,T_X)=H^2(X,T_X)=0$ y $h^1(X,T_X)=20$ (considero que los grupos de cohomología de Dolbeault)

Answer 1

Hay pruebas de que los $H^0(X, T_X)=0$ directamente, pero creo que todos son bastante grandes teoremas. Por ejemplo, ver Nygaard del papel " A $p$-ádico prueba de la no existencia de campos vectoriales en 3d de superficies." Una de las razones para comenzar con esto, es que tener suficiente $0$'s de la $E_1$-la página de la Hodge-de Rham espectral de la secuencia de hace obvio que esto degenera y, a continuación, usted puede leer los otros Hodge números.

Por otro lado, mientras su definición de 3d de la superficie implica ser suave, adecuado, algebraicas variedad de más de $\mathbb{C}$, entonces podemos empezar con el hecho de que la Hodge-de Rham espectral de la secuencia degenera en $E_1$. Usted podría tomar esto como un resultado de la teoría de Hodge, o (mejor en mi opinión), es el resultado de Illusie.

Desde $\omega\simeq \mathcal{O}_X$, la Hodge números que interesan son $h^{1,0}=h^{1,2}=0$ e $h^{1,1}=20$. Por supuesto,$H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$, así que por Hodge simetría $h^{1,0}=h^{0,1}=0$ y se obtiene la primera. De nuevo, por Hodge simetría $h^{1,2}=h^{2,1}=h^1(X, \omega)=h^1(X, \mathcal{O}_X)=0$ y se obtiene el segundo.

El $H^2_{dR}(X/\mathbb{C})$ parte es un poco más sutil. En este punto podemos llenar la totalidad de Hodge de diamante con la excepción de $s:=h^{1,1}$ (utilice el arriba + dualidad de Serre + conectado):

$\begin{matrix} & & 1 & & \\ & 0 & & 0 & \\ 1 & & s & & 1 \\ & 0 & & 0 & \\ & & 1 & & \\ \end{de la matriz}$

Por Noether la fórmula de $c_1^2+c_2=12\chi$. Pero $c_1^2=K_X\cdot K_X=0$ e $\chi=2$, lo $c_2=24$

Ahora lo usamos para $c_2=\sum (-1)^nh^n_{dR}(X/\mathbb{C})$. Por lo tanto $24=s+4$ y, por tanto,$s=20$.

(Algo de esto puede ser omitida si usted Ejemplo de uso del 15.2.2 en Fulton de la Intersección de la Teoría ya que está escrito para las superficies de $\chi (\mathcal{O}_X)=1/12(K\cdot K+\chi)$ sin necesidad de preocuparse acerca de la interpretación de las clases de Chern).