Usted está en el camino correcto. Podemos "hablar" recursivo ordinal transfinito $\alpha$ mediante la definición de una relación recursiva $R$ a $\mathbb{N}$ tal que $\{\mathbb{N},R\}$ es un conjunto ordenado con el fin de tipo $\alpha$. Podemos entonces definir $\text{TI}(R)$ como el esquema de $\forall \alpha (\forall \beta (\beta \ R \ \alpha \implies \varphi(\beta)) \implies \varphi(\alpha))\implies \forall \alpha \ \varphi(\alpha) $, y deje $\text{TI}(\alpha)$ media $\text{TI}(R)$ para algunos recursiva relación $R$ tal que $\{\mathbb{N},R\}$ es un conjunto ordenado con el fin de tipo $\alpha$.
Para el PA, tenemos que para cualquier $\alpha < \varepsilon_0$ hay una relación recursiva $R$ de tipo de orden $\alpha$ tal que $\text{PA} \vdash \text{TI}(R)$, pero sin ninguna relación recursiva $R$ o tipo de orden $\varepsilon_0$ do tenemos $\text{PA} \vdash \text{TI}(R)$.
Tenga en cuenta que la situación es muy diferente si nos requieren $\text{PA} \vdash \text{TI}(R)$ para todos los recursiva relaciones de orden tipo de $\alpha$; existe una relación $R$ de tipo de orden $\omega$ tales que PA no prueban $\text{TI}(R)$. De hecho, G. Kreisel construido, para cualquier verdadero $\Pi^0_1$ frase $\pi$, una primitiva recursiva relación $R$ de tipo de orden $\omega$ tal que $\text{PRA}+\text{TI}(R,\Pi^0_0) \vdash \pi$. Como yo lo entiendo, la idea es "codificar" la sentencia $\pi$ en la construcción de la $R$, pero no sé los detalles; para obtener más información, sugiero la lectura de Kreisel papel de "Un estudio de Prueba de la Teoría". Por supuesto, el resultado anterior significa que hay una primitiva recursiva relación $R$ de tipo de orden $\omega$ tal que $\text{PRA}+\text{TI}(R,\Pi^0_0) \vdash \text{Con(PA)}$, así que por Gödel Segundo Teorema de la Incompletitud, PA no puede probar la $\text{TI}(R,\Pi^0_0)$.
