Escribir fórmulas en lenguas específicas de grupo.

Question

Así que, para cada uno de los siguientes grupos, escribe una fórmula en el lenguaje de la teoría de grupos, que sea válida en el grupo dado, pero que no lo sea en los otros dos.

$(i)$ Los enteros con adición \ Creo que es $\{\Bbb{Z},+,-,0\}$

$(ii)$ Reales positivos con multiplicación \ Creo que es $\{\Bbb{R}_+,*,\,^{-1},1\}$

$(iii)$ Permutaciones de $\{a,b,c\}$ con la composición \ No sé exactamente qué es.

Entonces, encontré esa fórmula para $(ii)$ es:

$\forall x \exists y(x=y*y)$ ;

Esta fórmula es válida para $(ii)$ pero no se mantiene para $(i)$ Porque $\forall x\exists y(x=y*y)$ a $(i)$ es $\forall x\exists y(x=y+y)$ no es válida para $x=1$ .

Pero me he pegado a otros grupos y no puedo hacer nada bien por ellos. Fíjate que no tenemos ' $>$ ' y ' $<$ ' para los dos primeros, y no estoy seguro del último.

Answer 1

Si sabes algo de teoría de grupos, $(iii)$ es sólo $S_3$ y tiene exactamente $6$ elementos (que puedes escribir en el lenguaje de los grupos ya que tienes igualdad). Claramente, "Tener exactamente 6 elementos" es cierto en $(iii)$ y falso en $(i)$ y $(ii)$ . Llamamos a esta frase $\varphi$ .

Como ha señalado, $\mathbb{R}_+ \models \forall x \exists y (x = y*y)$ . Esto es falso en $(i)$ y también es falso en $(iii)$ . Obsérvese que una transposición, es decir $(ab)$ no puede escribirse como la composición de dos permutaciones. Llamamos a esta frase $\psi$ .

Finalmente, como sugirió Derek Holt, ya hemos terminado. Obsérvese que $\neg \varphi \wedge \neg \psi$ es una sentencia en FOL que no se cumple en $(ii)$ (ya que $\psi$ tiene en $(ii)$ ) y no se mantiene en $(iii)$ (ya que $\varphi$ tiene en $(iii)$ ), pero sí se mantiene en $(i)$ porque $\neg \psi$ y $\neg \varphi$ mantener en $(i)$ .