¿Cuál es la línea de paquete en la $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ cuya transición función es $e^z$

Question

Deje $U_0,U_\infty$ ser los dos afín parches de $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$, los barrios de "0" y "$\infty$", respectivamente. Deje $L$ ser la línea de paquete en la $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ construido por el encolado de la trivial paquetes de más de $U_0$ e $U_\infty$ a través de la función de $e^z$, que es un lugar de fuga holomorphic de la función en $U_0\cap U_\infty$.

Nunca he tomado de la geometría compleja (mi experiencia es en la geometría algebraica, y $e^z$ no es una expresión algebraica de la función), así que mi pregunta es - qué $L$ existen en el algebraicas mundo? Que es? (para los que $n\in\mathbb{Z}$ es $L\cong\mathcal{O}(n)$?). Si no es ninguno de ellos, ¿qué es el "derecho a la instrucción" para decir que no existe? Por ejemplo, es $e^z$ alguna manera no se en $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_0\cap U_\infty)$?

Answer 1

Topológicamente hay $\Bbb Z$-muchos de línea de paquetes, determinado por la primera clase de Chern, y uno puede calcular esta calculando qué elemento de $\pi_1 \Bbb C^*$ la transición de la función que representa. Así que basta ver cómo $e^z$ vientos alrededor de $0$ as $z$ vientos una vez en sentido antihorario alrededor de cero. Pero el hecho de que $e^z$ se extiende a todos los de $\Bbb C$ significa que este bobinado número es cero. Por lo que he (topológicamente!) dado el trivial de la línea de paquete. Si me acuerdo de mi superficies de Riemann, para $\Bbb P^1$, cada línea del complejo paquete tiene uno y sólo uno de holomorphic estructura hasta el isomorfismo (debido a $H^i(\Bbb P^n,\mathcal O)=0$ para $i>0$, sí?) - por lo que he escrito hasta el trivial de la línea de paquete.

Answer 2

Desde $e^z$ se extiende como un no-cero de la función en $U_0$, puede cambiar la base sobre la $U_0$, de modo que su encolado función es ahora sólo de $1$. Esto deja en claro que tiene la trivial paquete.

(Por cierto, por GAGA, cualquier holomorphic línea de paquete en la $\mathbb P^1$ tiene que ser algebraicas, así que lo que escribió tuvo que ser $\mathscr O(n)$ para algunos $n$.)