Hurwitz del Teorema de la Prueba de la Pregunta

Question

El Teorema de Hurwitz

¿Alguien puede explicar en la prueba del Teorema de Hurwitz en la página de wikipedia, la línea donde dice $ \frac{f_k'(z)}{f_k(z)}$ converge uniformemente por Morera del Teorema? No veo cómo que sigue de la Morera del Teorema.

Answer 1

Estoy de acuerdo ... ni idea de cómo se debe aplicar la Morera del Teorema. Pero se puede demostrar que:

$$\left|\frac{f_k'(z)}{f_k(z)}-\frac{f'(z)}{f(z)}\right| \leq \left| \frac{f_k'(z)}{f_k(z)}-\frac{f'(z)}{f_k(z)} \right| + \left| \frac{f'(z)}{f_k(z)} - \frac{f'(z)}{f(z)}\right| \\ \leq \frac{2}{\delta} |f_k'(z)-f'(z)| + \|f'\|_{\partial B(z_0,\varrho)} \cdot \frac{2}{\delta^2} \left| f(z)-f_k(z) \right|$$

para todos los $z \in \partial B(z_0,\varrho)$. Desde $f \to f_k$ (y, por tanto,$f_k' \to f_k$) compacta obtenemos $\frac{f_k'}{f_k} \to \frac{f}{f'}$ uniformemente en $\partial B(z_0,\varrho)$