Los valores esperados para una distribución normal

Question

Así que tengo una cuestión de práctica en un ejemplo de examen, y estoy un poco perplejo por ella:

Supongamos que $X \sim N(1,2)$.

Encontrar: $$E((X−1)^4)$$

y $$E(X^4)$$

Estoy un poco confundido en cuanto a cómo proceder. Ahora, yo sé que es posible obtener estas usando en el momento de generación de función, pero para el normal que la función es muy complicado y es un dolor para todos los derivados. He estado tratando de encontrar atajos.He encontrado el siguiente post aquí sobre las Matemáticas de exchange:

Calcular los valores esperados para una distribución normal

Que pretende responder a la pregunta. Sin embargo, estoy confundido por el último paso. Esto es lo que escribió para la solución:

$$

Answer 1

Sugerencia: no estoy seguro de si $2$ es la varianza o la desviación estándar. (Algunos utilizan $\sigma^2$ como segundo parámetro, y algunos de uso $\sigma$.)

Así que para cubrir todas las bases, suponemos que $X$ ha desviación estándar $\sigma$. Deje $Y=X-1$. A continuación, $Y$ es decir $0$ y la desviación estándar $\sigma$. Si sabemos $E(Y)$, $E(Y^2)$, $E(Y^3)$, y $E(Y^4)$, podemos encontrar cualquier cosa que necesite mediante el uso de la linealidad de las expectativas.

El cálculo de $E(Y)$ e $E(Y^3)$ no es ningún problema, por la simetría de ambos son $0$.

El cálculo de $E(Y^2)$ tampoco es un problema, es $\text{Var}(Y)+(E(Y))^2$, por lo que es $\sigma^2$.

Para $E(Y^4)$, tenemos que hacer algo de trabajo. Nota primero que $Y=\sigma Z$ donde $Z$ es normal estándar. Por lo $E(Y^4)=\sigma^4 E(Z^4)$. Nos muestran cómo calcular el $E(Z^4)$. $$E(z^4)=\int_{-\infty}^\infty z^4 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\,dz.$$

Integramos por partes, dejando $u=z^3$ e $dv=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}ze^{-z^2/2}\,dz$. La integral resulta ser $\int_{-\infty}^\infty kz^2e^{-z^2/2}\,dz$ donde $k$ es una constante. Ahora podemos encontrar una respuesta explícita, ya que $E(Z^2)=1$.