Demuestre que el mercado está libre de arbitraje si $a < S_0^1(1+r)< b$

Question

Ejercicio :

Consideramos un mercado de un periodo $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P, S^0, S^1)$ donde el espacio muestral $\Omega$ tiene un número finito de elementos y el $\sigma-$ álgebra $\mathcal{F} = 2^\Omega$ . Además, con $S^0$ simbolizamos el activo de riesgo cero con valor inicial $S_0^0=1$ en el momento $t=0$ y el tipo de interés $r>-1$ (que significa $S_1^0 = 1+r$ ). Con $S^1$ simbolizamos un activo con riesgo con valor inicial $S_0^1 >0$ en el momento $t=0$ y con valor $S_1^1$ en el momento $t=1$ que es una variable aleatoria.

Dejemos que $\mathbb{P}[\{\omega\}]>0$ para todos $\omega \in \Omega$ . Definimos : $$a:=\min S_1^1(\omega) \quad \text{and} \quad b:=\max S_1^1(\omega)$$ y suponemos que $0<a<b$ . Demuestre que el mercado está libre de arbitraje si y sólo si es : $$a<S_0^1(1+r)<b$$

Un proceso de valor se define como :

$$V_t = V_t^\bar{\xi} = \bar{\xi}\cdot \bar{S}_t = \sum_{i=0}^d \xi_t^i\cdot \bar{S}_t^i, \quad t \in \{0,1\}$$

donde $\xi = (\xi^0, \xi) \in \mathbb R^{d+1}$ es una estrategia de inversión en la que el número $\xi^i$ es igual al número de piezas de la seguridad $S^i$ que están contenidas en la cartera en el periodo de tiempo $[0,1], i \in \{0,1,\dots,d\}$ .

Si un mercado tiene arbitraje, entonces se cumple lo siguiente. En caso contrario, el mercado está libre de arbitraje.

$$V_0 \leq 0, \quad \mathbb P(V1 \geq 0) = 1, \quad \mathbb P(V_1 > 0) > 0$$

Pregunta : ¿Cómo se procedería a demostrar esto utilizando la definición matemática de arbitraje mediante la construcción de una determinada estrategia?

Answer 1

En su respuesta ha demostrado el contrapositivo y, por lo tanto, la implicación directa de que la ausencia de arbitraje implica $a < S_0^1(1+r) < b$ .

Para demostrar lo contrario suponemos que $a < S_0^1(1+r) < b$ y demostrar que no puede haber ningún arbitraje posible. Una posible oportunidad de arbitraje surge de una cartera que es corta en el activo libre de riesgo y larga en el activo de riesgo (con pesos adecuadamente escalados) donde

$$\tag{1}V_0 = \xi S_0^0 + S_0^1 \leqslant 0, \\ \implies \xi \leqslant - \frac{S_0^1}{S_0^0},$$

o una cartera que se pone larga en el activo libre de riesgo y corta en el activo de riesgo donde

$$\tag{2}V_0 = S_0^0 + \xi S_0^1 \leqslant 0, \\ \implies \xi \leqslant - \frac{S_0^0}{S_0^1}$$

De ello se desprende que no puede haber arbitraje si en cualquier caso existe al menos un estado futuro $\omega$ con una probabilidad no nula tal que $V_1(\omega) < 0$ . Bajo los supuestos dados, el activo de riesgo alcanza valores mínimos y máximos no negativos $a = S_1^1(\omega_{min})$ y $b= S_1^1(\omega_{max})$ respectivamente, donde $\mathbb{P}(\{\omega_{min}\}) > 0 $ y $\mathbb{P}(\{\omega_{max}\}) > 0 $ .

Así, en el caso (1)

$$\min V_1(\omega) = \xi S_0^0(1+r) + S_1^1(\omega_{min}) = \xi S_0^0(1+r) + a \\\leqslant -\frac{S_0^1}{S_0^0} S_0^0(1+r)+a = -S_0^1(1+r) + a < 0,$$

y en el caso (2)

$$\min V_1(\omega) = S_0^0(1+r) + \xi S_1^1(\omega_{min}) = S_0^0(1+r) + \xi b \\\leqslant S_0^0(1+r) - \frac{S_0^0}{S_0^1}b = \frac{S_0^0}{S_0^1}\left(S_0^1(1+r) - b\right) < 0$$

Por lo tanto, es imposible construir una cartera tal que $V_0 \leqslant 0$ y $\mathbb{P}(V_1 \geqslant 0) = 1$ .

Answer 2

Nota : La siguiente respuesta fue proporcionada por Daneel Olivaw a partir de un post sobre una pregunta mía similar sobre matemáticas financieras en Quantitive Finace Stack exchange : https://quant.stackexchange.com/questions/42637/equivalent-martingale-measure-exists-if-and-only-if-a-s-011r-b . El usuario Daneel Olivaw, al proporcionar una pista y una respuesta semicompleta, me hizo ver que mi enfoque de martingala era demasiado complicado y que se necesitaba algo más práctico en lo que respecta al arbitraje, por lo que aportó la elaboración anterior, que demuestra el "lado" de la afirmación.

Respuesta de Daneel Olivaw utilizando el enfoque de arbitraje :

Supongamos que:

$$ S_0^1(1+r)\leq a,b $$

Arbitraje para una cartera $V_t$ se define como:

$$V_0\leq0, \quad P(V_1\geq0)=1, \quad P(V_1>0)>0$$

Considere la posibilidad de pedir un préstamo a un tipo de interés $r$ para comprar el activo de riesgo de forma que $V_0=0$ . Entonces, asumiendo $a\not= b$ :

$$\begin{align} \min_{\omega}V_1(\omega)=a-S_0^1(1+r)\geq 0 \\ \max_{\omega}V_1(\omega)=b-S_0^1(1+r)> 0 \end{align}$$

Por lo tanto, existe un arbitraje. El mismo argumento se puede hacer si $S_0^1(1+r)\geq a,b$ pero en este caso el activo de riesgo se pone en corto y el dinero se presta a una tasa $r$ . Por lo tanto, para evitar el arbitraje, el mercado tiene que imponer la siguiente restricción:

$$ a< S_0^1(1+r)< b$$

La desigualdad no tiene que ser necesariamente estricta, podemos tener de forma equivalente:

$$ a\leq S_0^1(1+r)\leq b$$