Suma de las derivadas parciales

Question

Supongamos que $$\mu_i(x)=x_i \int_0^1 t^{n-1} \rho(tx) dt$$ donde $\rho$ es una función en $\mathbb R^n$ e $tx=(tx_1,\dots,tx_n)\in \mathbb R^n$. Mostrar que

$$\sum_{i=1}^n \frac{\partial\mu_i}{\partial x_i}=\rho .$$

Este problema parece simple, pero estoy teniendo dificultad en mostrar el resultado.

Supongo que el primer paso es encontrar a $\frac{\partial\mu_i}{\partial x_i}$ usando la regla del producto.

Answer 1

deje $\rho_k$ representar la derivada de $\rho$ respecto de la $k^{\text{th}}$ argumento $$ \frac{\partial \mu_i}{\partial x_i} = \int_0^1^{n-1}\rho(tx) dt + x_i\int_0^1 t^n \rho_i(tx)dt \etiqueta{1} $$ y para la primera integral por partes tenemos $$ \int_0^1^{n-1}\rho(tx) dt = \frac{\rho(x)}n -\frac1{n}\int_0^1 t^n\frac{d\rho(tx)}{dt}dt $$ donde $$ \frac{d\rho(tx)}{dt} = \sum_{i=1}^n x_i\rho_i(tx) $$ así $$ \sum_{i=1}^n \int_0^1^{n-1}\rho(tx) dt = \rho(x) - \int_0^1 t^n\frac{d\rho(tx)}{dt}dt \\ = \rho(x) -\int_0^1 t^n \sum_{i=1}^n x_i\rho_i(tx) dt \\ = \rho(x)- \sum_{i=1}^n x_i\int_0^1 t^n \rho_i(tx) dt $$ dar, a partir de la suma de (1) $$ \sum_{i=1}^n\frac{\partial \mu_i}{\partial x_i} =\rho(x) $$

Answer 2

$$\dfrac{\partial\mu_i}{\partial x_i}=\int_0^1 t^{n-1} \rho(tx) dt + x_i\int_0^1 t^{n} \rho'(tx) dt,$$

$$\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial\mu_i}{\partial x_i} = n\int_0^1 t^{n-1} \rho(tx) dt +\sum_{i=1}^n x_i\int_0^1 t^{n} \rho'(tx) dt = \int_0^1 \rho(tx) dt^n + \int_0^1 t^{n} \dfrac{d\rho(tx)}{dt} dt = t^{n} \rho(tx)\biggr|_0^1 - \int_0^1 t^{n} \dfrac{d\rho(tx)}{dt} dt + \int_0^1 t^{n} \dfrac{d\rho(tx)}{dt} dt = \rho(x)$$