Este es el ejemplo 2.13 en Hatcher K-teoría de notas. Supongamos $X$ es la punta de su compacto Hausdorff espacio y $X=A\cup B$ donde $A$ e $B$ son compactos contráctiles subespacios de $X$ que contiene el punto de base. El libro de reclamaciones que el producto $\tilde{K}^*(X)\otimes \tilde{K}^*(X)\to \tilde{K}^*(X)$ es idéntica a cero, ya que es equivalente a la composición de la $\tilde{K}^*(X,A)\otimes \tilde{K}^*(X,B)\to \tilde{K}^*(X,A\cup B)\to \tilde{K}^*(X)$. Entiendo que desde $A$ es contráctiles, $\tilde{K}^*(X)=\tilde{K}^*(X,A)$, y que $\tilde{K}^*(X,A\cup B)=0$. Pero estoy teniendo problemas para ver la equivalencia. De donde podemos usar el hecho de que $A$ e $B$ ambos contienen el punto de base? Debo pensar en términos de los vectores haces?
Respuesta
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Permítanme escribir $K$ de reducción relativa y K-teoría para mejorar la legibilidad. Así que ahora usted acepta que podemos identificar a $K(X)$ con $K(X, A)$ e con $K(X, B)$, por lo que el producto puede ser identificado con el producto $K(X, A) \times K(X, B) \to K(X)$. Siguiente, usted necesidad justa de acuerdo en que este producto de factores a través de $K(X, A \cup B)$, y esto es debido a que la correspondiente relación de la diagonal mapa de $X \to X/A \wedge X/B$ factores a través de $X/(A \cup B)$.
La hipótesis de que la $A$ e $B$ ambos contienen el punto de base es sólo la hipótesis de que usted necesita para los mapas de $X \to X/A$ e $X \to X/B$ a base de mapas, por lo que se definen los mapas de $K(X, A) \to K(X)$ e $K(X, B) \to K(X)$ a todos.
Este argumento no tiene nada que ver con el vector haces en particular, y se aplica sin modificaciones a cualquier multiplicativo cohomology de la teoría. Puede ayudar a pensar sobre ordinario cohomology, y en el mejor de los casos, de modo que puede ser identificado con la intersección del producto. La idea es que cualquiera de los dos cocycles han trivial intersección producto porque puede homotope, de modo que se evita la $A$ y homotope el otro, de manera que se evita la $B$, y entonces ellos no pueden cruzarse.
