"corto" a esta combinatoria problema

Question

Acabo de empezar a aprender la combinatoria,me tope con esta cuestión. cuántas $n\in\Bbb N $ los números que están a $>65000$ y tienen diferentes dígitos.

mi respuesta:

primero podemos ver que no podemos tener un número con más de $10$ dígitos así que vamos a romper en los casos

$5$ dígitos: tenemos $3 \cdot 9!/5!$ (cuando tenemos a $7,8,9$ en la $5'$de células th)+$4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$(cuando tenemos a $6$ en la $5'$th

ahora puedo consultar en cada caso 6-10 ($d=10-$ número de dígitos), dígitos que cada uno de ellos comienzan con $9 \cdot 9!/d$ así, obtenemos el total de $$9\sum_{d=0}^4 \frac{9!}{d!}$$

por supuesto, ahora su mirada simple pero tuve que dividirlo en $5$ de los casos,pero ahora me pregunto si hay alguna forma de solucionar todo esto $5$ de los casos a la vez,tal vez para tener $10$ opción para cada celda,ahora incluyendo a $0$ que se puede repetir a sí mismo y, a continuación, tirar la opción extra que tengo ahora para calcular cuántos diferentes opciones que puede establecer el "$0$" dentro de la $5'th-10'th$ células trato de entenderlo pero no conseguí nada especialis si alguien me puede mostrar

Answer 1

Una solución simple - sumar las siguientes cantidades:

• La cantidad de $ 5$-números de dos dígitos es $ \binom83\cdot3!= 336$
• La cantidad de $ 6$-números de dos dígitos es $\binom91\cdot\binom95\cdot5!= 136080$
• La cantidad de $ 7$-números de dos dígitos es $\binom91\cdot\binom96\cdot6!= 544320$
• La cantidad de $ 8$-números de dos dígitos es $\binom91\cdot\binom97\cdot7!=1632960$
• La cantidad de $ 9$-números de dos dígitos es $\binom91\cdot\binom98\cdot8!=3265920$
• La cantidad de $10$-números de dos dígitos es $\binom91\cdot\binom99\cdot9!=3265920$

Creo que no es muy diferente de la suya, tal vez sólo un poco más limpia.