La precisión de las operaciones en aproximaciones

Question

Si $ x $ e $ y $ ha $ n $ lugares significativos, cómo muchos de los importantes lugares de $ x + y $, $ x - y $, $ x \times y $, $ x / y $, $ \sqrt{x} $ tienen?

Quiero evaluar expresiones como $ \frac{ \sqrt{ \left( a - b \right) + c } - \sqrt{ c } }{ a - b } $ a $ n $ lugares significativos, donde $ a $, $ b $, $ c $ son números enteros no negativos. Yo estaba pensando en hacerlo de forma recursiva, es decir, si se quiere evaluar $ x / y $ a $ n $ lugares, necesito evaluar $ x $, $ y $ a $ m $ lugares, si se quiere evaluar $ x - y $ a $ n $ lugares, necesito evaluar $ x $, $ y $ a $ m $ lugares...

¿Qué libro debería ser de lectura?

Answer 1

Veamos su ejemplo específico, porque es muy interesante. Queremos evaluar $$\frac{\sqrt{(a-b)+c}-\sqrt{c}}{a-b},$$ donde $a$, $b$, y $c$ son enteros. No puede haber una grave pérdida de precisión si $c$ es enorme y $a$ e $b$ están muy cerca el uno del otro.

Sin embargo, hay una sencilla solución. Supongamos que $c$ es muy grande y $|a-b|$ es pequeño, el tipo de situación que puede conducir a una pérdida catastrófica de precisión.

Imagínese multiplicar "arriba" y "abajo" $\sqrt{(a-b)+c} +\sqrt{c}.$ Después de una pequeña cantidad de álgebra, obtenemos $$\frac{1}{\sqrt{(a-b)+c}+\sqrt{c}}.$$ Nuestra nueva expresión no implica restar casi iguales de números muy grandes. Ya no hay ninguna pérdida significativa de precisión problema.

Comentario: La expresión que usted ha mencionado es muy cerca de la clase de expresión que obtenemos cuando la solución de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$. (Por supuesto $a$, $b$, y $c$ ya no tiene el mismo significado como en su ejemplo). La conocida Fórmula Cuadrática $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ puede dar la evaluación numérica de problemas de $|4ac|$ es muy pequeña en comparación con $|b|$.

Multiplicar "arriba" y "abajo"$-b\mp\sqrt{b^2-4ac}$. Después de que el humo se disipa, se obtiene $$\frac{2c}{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}.$$

Así que tenemos una nueva fórmula para la solución de la ecuación cuadrática. Esta fórmula es a veces llamada la Citardauq Fórmula.

Supongamos que nuestra ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, y $|4ac|$ muy pequeño en comparación con $b^2$. Si queremos encontrar la más grande de la raíz, el uso de la Fórmula Cuadrática. Para los más pequeños de la raíz, obtenemos menos, a veces mucho menos, la pérdida de precisión mediante el uso de la Citardauq Fórmula.

En general, cuando estamos planeando un cálculo, es muy importante preparar las cosas para que el nivel de precisión de los problemas no surgen. Numérica diferenciación es especialmente problemático. E incluso algo tan simple como una reducción de la fila puede dar problemas si utilizamos ciegamente en el proceso de enseñan en primero de Álgebra Lineal cursos.

Answer 2

$x\times y$, $x/y$, y $\sqrt{x}$ todos han $n$ lugares significativos. $x+y$ e $x-y$ puede tener hasta a $n$ lugares significativos, pero dependiendo de la cancelación, una de ellas podría tener menos. Por ejemplo, supongamos que sabemos que tanto $\pi$ e $22/7$ a $6$ lugares significativos. Sólo sabemos $22/7-\pi$ a $3$ lugares significativos: $3.14286-3.14159=0.00127$. Sin embargo, sabemos $22/7+\pi$ a $6$ lugares significativos: $3.14286+3.14159=6.28445$

Answer 3

$ \left[ a , b \right] + \left[ c , d \right] = \left[ a + c , b + d \right] $

$ \left[ a , b \right] - \left[ c , d \right] = \left[ a - d , b - c \right] $

$ \left[ a , b \right] \times \left[ c , d \right] = \left[ \min \left( a \times c , a \times d , b \times c , b \times d \right) , \max \left( a \times c , a \times d , b \times c , b \times d \right) \right] $

Si $ 0 \notin \left[ c , d \right] $,, a continuación, $ \left[ a , b \right] / \left[ c , d \right] = \left[ \min \left( a / c , a / d , b / c , b / d \right) , \max \left( a / c , a / d , b / c , b / d \right) \right] $

Si $ a \geq 0 $,, a continuación, $ \sqrt { \left[ a , b \right] } = \left[ \sqrt a , \sqrt b \right] $

$ a \approx a ^ { \prime } $ a $ n $ decimal lugares significativos después de que el período si y sólo si $ a \in \left[ a ^ { \prime } - 5 \times 10 ^ { - \left( n + 1 \right) }, a ^ { \prime } + 5 \times 10 ^ { - \left( n + 1 \right) } \right) $, suponiendo que yo soy el redondeo de la mitad para arriba.

Si $ a \approx a ^ { \prime } $, $ b \approx b ^ { \prime } $ a $ n + 1 $ decimal lugares significativos después de la época, a continuación $ a + b \approx a ^ { \prime } + b ^ { \prime } $, $ a - b \approx a ^ { \prime } - b ^ { \prime } $ a $ n $ decimal lugares significativos después de que el período de porque $ a + b $ $ \in \left[ a ^ { \prime } - 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } + b ^ { \prime } - 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } , a ^ { \prime } + 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } + b ^ { \prime } + 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } \right) $ $ = \left[ a ^ { \prime } + b ^ { \prime } - 10 ^ { - \left( n + 1 \right) } , a ^ { \prime } + b ^ { \prime } + 10 ^ { - \left( n + 1 \right) } \right) $ $ \subset \left[ a ^ { \prime } + b ^ { \prime } - 5 \times 10 ^ { - \left( n + 1 \right) }, a ^ { \prime } + b ^ { \prime } + 5 \times 10 ^ { - \left( n + 1 \right) } \right) $, $ a - b $ $ \in \left[ a ^ { \prime } - 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } - \left( b ^ { \prime } + 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } \right) , a ^ { \prime } + 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } - \left( b ^ { \prime } - 5 \times 10 ^ { - \left( \left( n + 1 \right) + 1 \right) } \right) \right) $ $ = \left[ a ^ { \prime } - b ^ { \prime } - 10 ^ { - \left( n + 1 \right) } , a ^ { \prime } - b ^ { \prime } + 10 ^ { - \left( n + 1 \right) } \right) $ $ \subset \left[ a ^ { \prime } - b ^ { \prime } - 5 \times 10 ^ { - \left( n + 1 \right) }, a ^ { \prime } - b ^ { \prime } + 5 \times 10 ^ { - \left( n + 1 \right) } \right) $. Así, para calcular los $ a + b $ a $ n $ decimal lugares significativos después de la época, necesito calcular primero $ a $, $ b $ a $ n + 1 $ decimal lugares significativos después de la época.

Todavía estoy trabajando en la multiplicación, división, raíz. Mi cerebro es freír...