Por qué la dirección opuesta a la de la prueba de $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B) \subseteq \mathcal P(A\cup B)$ es malo

Question

La siguiente prueba es dada para mostrar que $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B) \subseteq \mathcal P(A\cup B)$ ($\mathcal P$ es el juego de poder):

Deje $X \in (\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B))$, por definición de unión: $$X \in \mathcal{P}(A) \lor X \in \mathcal{P}(B)$$ $\implica$Por definición de poder establecer $$X \subseteq A \lor X \subseteq B$$ $\implies$Por la unión de la transitividad de$$X \subseteq A\cup B$$ $\implica$Por definición de poder establecer $$X \in \mathcal{P}(A \cup B)$$ Then $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A \cup B) \blacksquare$

Ahora, pensé que podría aplicar el contrario la lógica para demostrar que $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B) \supseteq \mathcal P(A\cup B)$, y así demostrar que $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B)= \mathcal P(A\cup B)$:

Deje $X \in \mathcal{P}(A \cup B)$, Por definición de juego de poder: $$X \subseteq A\cup B$$ $\implica$ By union transitivity: $$X \subseteq A \lor X \subseteq B$$ $\implies$ , Por definición, de powerset: $$X \in \mathcal{P}(A) \lor X \in \mathcal{P}(B)$$ $\implica$ por definición de unión: $$X \in (\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B))$$ Entonces $\mathcal {P}(A \cup B) \subseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \blacksquare$

Varios puestos aquí demostrar que para cualquier conjuntos de $A$ o $B$si $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B)= \mathcal P(A\cup B)$ entonces $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$, por lo que claramente mi dirección opuesta a la prueba no puede ser verdad.

Lo que me gustaría entender es que el paso se basa en una falsa assumtion/implicación?

Answer 1

$X \subseteq A \cup B$ no implica que se $X \subseteq A$ o $X \subseteq B$.

Por ejemplo supongamos $A=\{1\}$ e $B=\{2\}$ e $X = A \cup B$.

$X$ no es ni subconjunto de $A$ ni subconjunto de $B$.

Answer 2

Su "unión de la transitividad de" el paso que está mal. Es decir, si usted tiene $X \subset A \cup B$, entonces usted no necesariamente tiene $X \subset A$ o $A \subset B$. Por ejemplo, supongamos $A =\{1\},B=\{2\},X=\{1,2\}$.

Answer 3

Tengo muchos libros en mi estantería: Algunos de ellos los he comprado y el resto son tomados de otros y nunca regresó.

Un general subconjunto de los libros de mi estantería no tiene por qué consistir exclusivamente de préstamo de libros, o de los propios libros.