Puntos extremos de $f(x,y) = \sin(x)+\sin(y)+\sin(x+y)$.

Question

$f: (0,\frac{\pi}{2}) \times (0,\frac{\pi}{2}) \mapsto \mathbb{R}$

$\qquad (x,y) \mapsto \sin(x)+\sin(y)+\sin(x+y)$

Buscando los puntos extremos de la mencionada función. Primer lugar, calcular los puntos críticos:

$\nabla f(x) = \begin{pmatrix} \cos(x)+\cos(x+y)\\ \cos(y) + \cos(x+y)\\ \end{pmatrix} \desbordado{!}{=} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix} $

Aquí es el punto donde mi mi problema que surge es:

El soloution de la ecuación es $y = -2y$ o $x = \frac{-y}{2}$

Puedo concluir que este no es un punto crítico, pero un crítico de la "línea". El trazado de la función y mi línea se obtiene una tontería. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Sugerencia: usted debe comenzar a partir de $\cos(x) = -\cos (x+y), \; \cos(y) = -\cos(x+y) \Rightarrow \cos(x) = \cos(y)$. Esto le da a usted que $x = y + 2\pi k$ o $x = 2\pi k-y$. Después de que usted tiene que resolver dos ecuaciones: $\cos(x) + \cos(2x) = 0$ e $\cos(x) + 1 = 0$. La combinación de las soluciones de estas ecuaciones con la correspondiente primer paso que da puntos críticos de la función.

Answer 2

Esta es una función interesante, ya que los factores de un buen funciones en el toro ($\mathbb{R}^2/2\pi \mathbb{Z}^2$) con 3 puntos críticos, lo que demuestra que el límite inferior de los puntos críticos de una función de Morse, dada por la Lusternik-Schnirelmann categoría es realmente buena (ya que también se evalúa a 3 en la 2-toro).

Señalar esto, se ve que debe haber en el hecho, precisamente, de 3 de soluciones para una fuga de derivados!

Respuesta corta es que el cálculo de la solución es, por desgracia mal y no parece que el uso de las propiedades de sen,cos.

En lo que sigue voy a tratar de dar algunos consejos para resolver su problema.

Usted tiene que preguntarse tres cosas:

• Que las soluciones reales no cosx=-cos(x+y) cos(y)=-cos(x+y) tiene? (sugerencia: vea el cos y averiguar dónde es este el caso. Es decir para una cierta traducción por parte de algunos múltiplos de $\pi$), también no te olvides de añadir o restar a ellos y a ver qué pasa.
• Cual de estas soluciones mentira realmente en $(0,\pi/2)^2$, ya que sólo aquellos que son interesantes (por qué?)
• ¿cómo funciona la función de comportarse cerca de la "frontera", son algunos de los extremos locales de la anterior, tal vez no global? ¿Cómo funciona la función de comportarse cerca de los puntos críticos?

De nuevo, creo que vale la pena pensar en ello, así que trate de resolver usted mismo!

Espero que sea de ayuda, Buena suerte!

Si desea comprobar sus soluciones mira:

Wolfram Alpha soluciones reales

(también mire el diagrama en wolfram alpha ingresando "sinx+siny+sen(x+y)" a ver qué pasa en esta situación. Tenga en cuenta que esta parcela será definido en $\mathbb{R}^2$. No he reputación suficiente para publicar un 3er link)

Answer 3

Puede que desee echar un vistazo a lo que su amigo Wolfram Alpha le dice a usted acerca de este conjunto de ecuaciones. De acuerdo, utilizando para soluciones de informática para la tarea es contraproducente, al menos, pero creo que es útil para los pasos intermedios.

En los trazados gráfico, los dos colores que representan los dos conjuntos de soluciones. De hecho, ellos son líneas, y countably infinitamente muchas líneas en eso, pero ellos no son paralelas y se encuentran en puntos. Como en los puntos extremos. Cuando se restringe el dominio de su función, se encuentra el extremo poolpt ya se encuentra.

Sospecho que puede llegar a la misma solución, por cuidadosamente la solución de las ecuaciones y no asumiendo $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ o $0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.