Secuencia de logaritmos anidados $a_{n+1}=a_n+\log a_n$ , tasa de crecimiento

Question

He considerado una secuencia definida como sigue:

$$a_{n+1}=a_n+\log a_n$$

$$a_1=2$$

Sorprendentemente, su crecimiento es casi lineal o, más exactamente, eso parece:

$$n < a_n < n^{3/2}$$

A partir de experimentos numéricos, la tasa de crecimiento para grandes $n$ está bien descrita por una ley de potencia (como es obvio por la condición anterior), siendo el exponente alrededor de $1.2$ . Esta es la trama de:

$$r_n=\frac{\log a_n}{\log n}$$

para $n=10^3 - 10^5$ .

Para los más grandes $n$ que tenemos, por ejemplo:

$$r_{0.5 \cdot 10^6}=1.204993305$$

$$r_{1.5 \cdot 10^6}=1.194589226$$

$$r_{4.5 \cdot 10^6}=1.185287843$$

$$r_{10 \cdot 10^6}=1.179122734$$

$$r_{20 \cdot 10^6}=1.174129607$$

¿Podemos (1) demostrar que la secuencia obedece a una ley de potencia para $n \gg 1$ y (2) encontrar el valor de $r_{\infty}$ ?

Editar

Si, como dice Did en los comentarios, la secuencia en realidad obedece a otra ley:

$$a_n \asymp c n \log n$$

Entonces sería interesante probar y sobre todo encontrar $c$ .

De los experimentos:

$$c_{10 \cdot 10^6}=1.113128774$$

$$c_{20 \cdot 10^6}=1.111029684$$

Y la trama para $n=10^3 - 10^5$ :

El profesor Vector sugirió que $c_{\infty}=1$ , lo que es posible aunque la convergencia sea realmente lenta.

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Actualización:

En una pregunta vinculada demuestro (más o menos) que la siguiente desigualdad se cumple para $n \geq 2$ :

$$a_n \leq (n+1) \left( \ln (n+1) + \ln \ln (n+1) \right)$$

Esta atadura es bastante ajustada.

Answer 1

No es una ley de potencia, y $\lim_{n\to\infty}r_n=1$ . Una forma de demostrarlo es comprobar por inducción que $a_n\leq 2n\log n$ por cada $n\geq 2$ .

Answer 2

Pista. Obsérvese que si demostramos que eventualmente $$c_1 n\ln n\leq a_n \leq c_2 n\ln n\quad \text{with $ 0<c_1\leq c_2 $}$$ ( $c_1=1/2$ y $c_2=2$ debería funcionar por inducción), entonces $\ln(a_n)\sim \ln(n)$ y, por Teorema de Stolz-Cesaro , $$\lim_{n\to +\infty}\frac{a_n}{n\ln n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\ln (n+1)-n\ln(n)}= \lim_{n\to +\infty}\frac{\ln(a_n)}{\ln ((1+1/n)^n)+\ln(n+1)}=1.$$