Pregunta acerca de las proporciones de los números primos p para los que $ord_p(2)$ satisface ciertas congruencias

Question

deje $p$ ser una de las primeras. He observado numéricamente que la proporción de $p$ satisfacción $ord_p(2)\equiv4[8]$ parece ser $1/3$. ¿Por qué es así? Hay una prueba simple?

Por otra parte, la proporción $c$ primer $p$ satisfacción $ord_p(2)\equiv2[4]$ parece ser la misma que la proporción de números primos $p$ para que $ord_p(2)\equiv1[2]$ o los $ord_p(2)$ que son impares. De nuevo, ¿por qué es así?

$c\approx0.29..$ Que es ese número?

Answer 1

Recordemos que cada residuo de la clase $1,3,5,7\pmod8$ contiene $\frac14$ de los números primos, asintóticamente, por el teorema de los números primos para progresiones aritméticas.

Si $p\equiv3\pmod8$,, a continuación,$p-1\equiv2\pmod4$, e $2$ es una ecuación cuadrática nonresidue modulo $p$, lo que significa que $ord_p(2)\equiv2\pmod4$ así.

Si $p\equiv7\pmod8$, luego de nuevo $p-1\equiv2\pmod4$, pero $2$ ahora es un residuo cuadrático módulo $p$, lo que significa que $ord_p(2)\equiv1\pmod2$.

Si $p\equiv5\pmod8$,, a continuación,$p-1\equiv4\pmod8$, e $2$ es una ecuación cuadrática nonresidue modulo $p$, lo que significa que $ord_p(2)\equiv4\pmod8$ así.

Por último, supongamos que el $p\equiv1\pmod8$, y deje $k$ a ser el exponente de $2$ en la factorización de $p-1$, por lo que el $k\ge3$. Tenga en cuenta que entre estos primos, $k=3$ para $\frac12$ de ellos, $k=4$ para $\frac14$ de ellos, $k=5$ para $\frac18$ de los mismos, etc., de nuevo por el teorema de los números primos para progresiones aritméticas.

Deje $j$ a ser el exponente de $2$ en la factorización de $ord_p(2)$. Desde $2$ es un residuo cuadrático módulo $p$, sabemos que $j\le k-1$. Tenemos $j=k-1$ si y sólo si $2$ no es un cuarto poder, el modulo $p$; $j=k-1$ si y sólo si $2$ es un cuarto poder, pero no una octava potencia del modulo $p$; $j=k-1$ si y sólo si $2$ es una octava potencia, pero no de un dieciseisavo de alimentación modulo $p$; y así sucesivamente hasta que $j=0$ si y sólo si $2$ es $2^k$th poder modulo $p$.

Podemos demostrar (lo que posiblemente requiera la asunción de un adecuado generalizada de Riemann hipótesis) que entre los números primos $p\equiv1\pmod8$, $2$ no es un cuarto poder, para $\frac12$ de ellos; $2$ es un cuarto poder, pero no una octava potencia para $\frac14$ de ellos; $2$ es una octava potencia, pero no de un dieciseisavo de energía para $\frac18$ de ellos; y así sucesivamente. (Esto es lo que nos esperaría en la heurística que $2$ se distribuyen al azar entre los residuos cuadráticos módulo $p$.)

Por lo tanto, la proporción de números primos $p$ tal que $ord_p(2)\equiv4\pmod8$ es igual a $$ 0+0+\frac14+\frac14\bigg( \frac12\cdot\frac12+\frac14\cdot\frac14+\frac18\cdot\frac18+\cdots \bigg) = \frac13. $$ Del mismo modo, la proporción de números primos $p$ tal que $ord_p(2)\equiv2\pmod4$ es igual a $$ \frac14+0+0+\frac14\bigg( \frac12\cdot\frac14+\frac14\cdot\frac18+\frac18\cdot\frac1{16}+\cdots \bigg) = \frac7{24} = 0.291\bar6. $$ Un cálculo similar da $\frac7{24}$ para la proporción de números primos $p$ tal que $ord_p(2)$ es impar. Finalmente, la proporción de números primos $p$ tal que $ord_p(2)\equiv2^k\pmod{2^{k+1}}$ es $1/(3\cdot2^k)$.