Demostrando que $\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1$

Question

Yo jugueteaba con la definición de la derivada, tratando de averiguar las fórmulas para las funciones comunes el uso de límites. Me tocó un obstáculo, sin embargo, mientras que tratando de encontrar la derivada de $e^x$. El proceso fue algo como esto:

$$\begin{align} (e^x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^xe^h-e^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} e^x\frac{e^{h}-1}{h} \\ &= e^x \lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h} \end{align} $$

Puedo mostrar que $\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} = 1$ el uso de L'Hôpital, pero que tipo de derrotas el propósito de trabajar fuera de la derivada, por lo que quiero probarlo en alguna otra forma. He estado intentando, pero no puedo trabajar de cualquier cosa. Podría alguien dar una sugerencia?

Answer 1

En cuanto a tu comentario:

Considere la ecuación diferencial

$$y - \left( {1 + \frac{x}{n}} \right)y' = 0$$

Su solución es claramente $$y_n={\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n}$$

Si dejamos $n \to \infty$ "en la ecuación" uno se

$$y - y' = 0$$

Uno debe esperar que la solución a esto es precisamente

$$\lim_{n \to \infty} y_n =y=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac x n \right)^n := e^x$$

También se nota $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{x}{{xn}}} \right)^{xn}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right]^x}$$

Mi planteamiento es el siguiente:

Tengo como una definición de la $\log x$ el siguiente:

$$\log x :=\lim_{k \to 0} \frac{x^k-1}{k}$$

Otro sería

$$\log x = \int_1^x \frac{dt}t$$ De todas formas, lo importante aquí es que uno puede definir $e$ a ser el único número que

$$\log e =1$$

de modo que por definición

$$\log e =\lim_{k \to 0} \frac{e^k-1}{k}=1$$

De otro camino, podemos definir a la $e^x$ como el inverso del logaritmo. Desde

$$(\log x)'=\frac 1 x$$

la inversa de la derivada teorema nos dice

$$(e^x)'=\frac{1}{(\log y)'}$$

donde $y=e^x$

$$(e^x)'=\frac{1}{(1/y)}$$

$$(e^x)'=y=e^x$$

La busca en el cociente de la diferencia, se ve que, por definición, uno necesita

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{x + h}} - {e^x}}}{h} = {e^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h} = {e^x}$$

así que el límite de la expresión es $1$. También se puede recuperar a partir de la definición de logaritmo que

$$\eqalign{ & \frac{x}{{x + 1}} <\log \left( {1 + x} \right) < x \cr & \frac{1}{{x + 1}} < \frac{{\log \left( {1 + x} \right)}}{x} <1 \cr} $$

Así

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$$

un cambio de variables $e^h-1=x$ da el resultado estado. En general, tenemos que ir de nuevo a la definición de $e^x$. Si uno define $${e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} + \cdots $$

Entonces

$$\frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \cdots $$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 + \frac{x}{2} + \cdots } \right) = 1$$

a partir de la definición que hemos optado.

Answer 2

Que decir $y=e^h -1$, entonces el $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^h -1}{h} = \lim_{y \rightarrow 0}{\dfrac{y}{\ln{(y+1)}}} = \lim_{y \rightarrow 0} {\dfrac{1}{\dfrac{\ln{(y+1)}}{y}}} = \lim_{y \rightarrow 0}{\dfrac{1}{\ln{(y+1)}^\frac{1}{y}}}$. Es fácil demostrar que $\lim_{y \rightarrow 0}{(y+1)}^\frac{1}{y} = e$. Entonces usando límites de compuestos funciones $\lim_{y \rightarrow 0}{\dfrac{1}{\ln{(y+1)}^\frac{1}{y}}} = \dfrac{1}{\ln{(\lim_{y \rightarrow 0}{(y+1)^\frac{1}{y}})}} = \dfrac{1}{\ln{e}} = \dfrac{1}{1} = 1.$

Answer 3

Definir $$ f_n (x) = \left (1 + \frac {x} {n} \right) ^ n\tag {1} $$ Nota que f_n $$ ^ {\,\prime} (x) = \left (1 + \frac {x} {n} \right) ^ \tag {n-1} {2} $$ en los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$, ambos convergen uniformemente $(1)$y $(2)$ $e^x$. Esto significa que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x\tag{3} $$ por lo tanto, $$\begin{align} \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x} &=\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^0}{x-0}\\ &=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x\right|_{x=0}\\ &=\left.e^x\right|_{x=0}\\ &=1\tag{4} \end {alinee el} $$

Answer 4

Si (como es bastante común en los cursos de análisis matemático) se define el $\ln x$ por $$\ln x=\int_1^x \frac{dt}{t},$$ entonces es fácil demostrar que la derivada de $\ln x$$\frac{1}{x}$. Uno puede apelar al Teorema Fundamental del Cálculo, o de operar directamente a través de una presión argumento.

Si ahora nos definen $e^x$ como la función inversa de a $\ln x$, entonces el hecho de que la derivada de $e^x$ $e^x$ se sigue del teorema básico acerca de la derivada de una función inversa.

Hay muchas maneras de definir la función exponencial. La prueba de que el resultado después de que depende en gran medida el enfoque que decide tomar.

Answer 5

1) el Uso de Apostol definición de "Cálculo I", 6.12, o en Finney "Cálculo y Geometría Analítica". 6.3 , o en Swokowski del "Cálculo y Geometría Analítica", def. 7.8, tenemos que $$\,\,e^x=y\iff^{\textrm{def.}} \log y=x$$ and assuming we know the usual about the logarithmic function we get $$y=e^x\implies \log y=x\implies\frac{1}{y}\,dy=dx\implies \frac{dy}{dx}=y=e^x\implies (e^x)'=e^x$$ and now using the definition of derivative, for any real we have $$e^x=(e^x)'=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}\implies \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$since, by this def. of the exponential function, we get using the basic properties of logarithm $$e^{x+h}=e^xe^h\iff \log(e^xe^h)=x+h ....$$$${}$$

(2) Por uno de los más habituales, y en la escuela primaria, de las definiciones de número de $\,e\,$ , obtenemos: $$e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\implies e^h=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{hn}=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{h}{k}\right)^k$$putting $\,\,k:=hn\,\,$, so$$\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{h}{n}\right)^n-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\frac{h}{n}\right)^k-1}{h}=$$$$=\lim_{h\to 0}\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\left(\frac{h}{n}\right)^k}{h}=1+\lim_{h\to 0}\lim_{n\to\infty}\rlap{/}{h}\frac{\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}\frac{h^{k-1}}{n^k}}{\rlap{/}{h}}=1$$as every single summand in what's left in that sum is multiplied by a positive power of $\,h$...

Hasta donde yo sé, la mayoría de los autores que ir con el primer enfoque, no pude encontrar uno que va con el segundo enfoque, y algunos incluso van con la definición de la función exponencial como una potencia de la serie...ahora que usted elija!