¿Cómo puedo saber si un sistema tiene un cuadrupolo momento?

Question

Sabemos que las ondas gravitacionales son emitidas (al menos en GR) cuando el sistema tiene un tiempo variable cuadrupolo (o superior) del momento. Mi pregunta es

Es posible decir fácilmente (por ejemplo, sólo mirando) si un sistema tiene esos momentos?

¿Hay algún tipo de simetría para buscar que le permite saber que el sistema emitirá radiación?

Answer 1

No creo que sea posible fácilmente a contar, pero aquí es cómo usted puede acercarse a este. Los momentos multipolares $T_{\ell, m}(t)$ de la densidad de energía $T^{00}(t, \mathbf x)$ de una fuente puede ser escrito en las superficies de la constante de tiempo en términos de armónicos esféricos de la siguiente manera: $$ T_{\ell m}(t) = \int d^3x \, Y^*_{\ell, m}(\theta, \phi)r^\ell\,T^{00}(t, \mathbf x) $$ Observe que si escribimos la densidad de energía en términos de armónicos esféricos; $$ T^{00}(t,\mathbf x) = \sum_{\ell, m}c_{\ell, m}(t,r)Y_{\ell, m}(\theta, \phi) $$ luego de realizar la integración en coordenadas esféricas y el uso de ortogonalidad de los armónicos esféricos (puedo dar detalles, si lo desea), nos encontramos con $$ T_{\ell, m}(t) = \int dr\, r^{\ell+2} c_{\ell, m}(t,r) $$ Por lo tanto, podemos ver que si algunos de los coeficientes de $c_{\ell, m}$ en la expansión de la densidad en términos de armónicos esféricos desaparecen, después de la correspondiente multipolo momento se desvanece. El monopolo momento corresponde a $\ell = 0$, el momento dipolar a $\ell = 1$, y el cuadrupolo momento a $\ell = 2$.

Por lo que dicen, por ejemplo, que la densidad de energía tiene simetría esférica, es decir, $$ T^{00}(t,\mathbf x) = f(t,r), \qquad r = |\mathbf x| $$ A continuación, su expansión no contiene armónicos esféricos con $\ell>0$, por lo que todos los momentos multipolares otro que el monopolo momento de desaparecer. En particular, no existe el cuadrupolo.

Así que el mejor consejo que puedo dar es mirar las fotos de armónicos esféricos, y el intento de conseguir algo de intuición para cuando ciertas distribuciones de energía se contienen en sus expansiones.

Espero que ayude! Déjame saber de cualquier error y/o errores tipográficos.

Saludos!

Answer 2

La forma más sencilla de construir un cuadrupolo es tener dos idénticos dipolo desplazados por una cierta distancia opuestos el uno al otro, hay un cuadrupolo. En cierto sentido, de un modo oscuro dipolo (con dipolo de cancelación de cada uno de los otros en el campo lejano, pero no cancelar en el campo cercano), le da un cuadrupolo. Un octupole se construye mediante la colocación de cuadrupolares de una manera similar.

O de hecho, siempre y cuando la fuente se unta en un volumen finito y oscilante con el tiempo, usted tendrá todos los multipolo modos de hasta un orden arbitrario (sólo cada vez más de fuga). Este es el resultado de multipolo de expansión.