Prueba $\min_{i}|\lambda_i| \leq |r_{jj}| \leq \max_{i}|\lambda_i|$

Question

Sea A una normal $n \times n$ con los valores propios $\lambda_1,...,\lambda_n$ |A| = |QR|, $|Q^HQ| = I$ , $|R| = [r_{ik}]$ matriz triangular superior. Demuéstralo: $$\min_{i}|\lambda_i| \leq |r_{jj}| \leq \max_{i}|\lambda_i|, \; j = 1,...,n$$

En este problema, sé que de alguna manera tenemos que utilizar la descomposición de Cholesky, que es $A = LL^H$ , pero no sé cómo puedo hacerlo para probar.

Answer 1

Si $A$ es normal, entonces los valores absolutos de sus valores propios son iguales a sus valores singulares. En particular, si $\sigma_{\min}(A)$ y $\sigma_{\max}(A)$ son los valores singulares mínimo y máximo de $A$ respectivamente, entonces $$ \sigma_{\min}(A)=\min_{\|x\|=1}\|Ax\|_2=\min_{1\leq i\leq n}|\lambda_i| \quad\text{and}\quad \sigma_{\max}(A)=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|_2=\max_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|. $$ La forma más sencilla de verlo es considerar la descomposición espectral $A=U\Lambda U^*$ y observe que $\Lambda=|\Lambda|W$ donde $W$ es una matriz diagonal unitaria (si $\lambda=|\lambda|e^{\iota\phi}$ es un valor propio de $A$ el factor correspondiente en la diagonal de $W$ es exactamente la parte de fase de $\lambda$ ). Por lo tanto $A=U|\Lambda|(U\bar{W})^*$ . Pero con $\Sigma:=|\Lambda|$ y $V:=U\bar{W}$ , $A=U\Sigma V^*$ es la SVD de $A$ .

Queda por demostrar que las entradas diagonales del factor triangular $R$ satisfacer $$\tag{1} \sigma_{\min}(A)\leq |r_{jj}| \leq \sigma_{\max}(A), \quad 1\leq j\leq n. $$ Sea $e_j$ sea el $j$ columna de la matriz de identidad. Entonces $$\tag{2} \sigma_{\max}(A)=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|_2=\max_{\|x\|=1}\|Rx\|_2\geq\|Re_j\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^j|r_{ij}|^2}\geq|r_{jj}|, $$ lo que demuestra el límite superior.

Para el límite inferior, si $A$ es singular, entonces $\sigma_{\min}(A)=0$ y el límite es trivial. Si $A$ es invertible, entonces al igual que antes, tenemos $$\tag{3} \frac{1}{\sigma_{\min}(A)}=\sigma_{\max}(A^{-1})=\max_{\|x\|=1}\|A^{-1}x\|_2=\max_{\|x\|=1}\|R^{-1}x\|_2\geq \frac{1}{|r_{jj}|}, $$ donde la última igualdad se debe a que la diagonal de $R^{-1}$ es la inversa de la diagonal de $R$ . Sumando (2) y (3) se obtiene (1).