Lebesgue mide intervalos simétricos compactos

Question

Sea$\mu$ una medida en$L_m$, ($m \ge 1$) -$\sigma$ - álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue, de manera que sus valores en intervalos compactos y simétricos (cubos) sean Igual a la medida de Lebesgue de esos cubos. Entonces $\mu = \mathcal{L}^m$.

¿Podría decirme cómo probar esta observación?

Sé que podemos definir la medida de Lebesgue mediante cubos simétricos, pero no estoy seguro de cómo usarla aquí.

Gracias.

Answer 1

Este hecho es falso. De lo contrario, deje$g(x)=1+\frac{1}{1+x^2}$ para$x\ge 0$ y$g(x)=1-\frac{1}{1+x^2}$. Defina$\mu$ en$R$ de la siguiente manera:$\mu(A)=\int_{A}g(x)d \cal{L}^1(x)$ para todos los subconjuntos medibles de Lebesgue$A \subseteq R$. Es obvio que$\mu$ satisface todas las condiciones anteriores pero$\mu \neq \cal{L}^1$.