Convergencia de$\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ en$|z|=1$

Question

Sé que la serie de potencias$\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ converge para$|z| \lt 1$ pero he estado tratando de determinar qué sucede en$|z|=1$
Claramente, la serie converge en$z=1$ y se desvía en$z=-1$.
Pensé que un buen enfoque sería escribir$z^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ y usar la prueba de Dirichlet para las dos series reales$\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cos n\theta, \space \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin n\theta$ pero realmente no puedo usarlo aquí porque$\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ no es monotónico.
¿Alguien puede dar una pista con la dirección correcta?

Answer 1

Deje$z=e^{it}$, entonces la serie se convierte en

PS

Deje$$-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^ne^{int}}{n}$, luego para$a_n=(-1)^ne^{int}$:$t\neq\pi

Luego, aplique la prueba de Dirichlet a$$\left|\sum_{n=1}^Na_n\right|=\left|\frac{-e^{it}(1-(-1)^Ne^{iNt})}{1+e^{it}}\right|\leq\left|\frac{2}{1+e^{it}}\right|$y$a_n$, llegamos a la conclusión de que$b_n=\frac{1}{n}$converge, para$\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$.

Si$z=e^{it}, t\neq\pi$, entonces se convierte en la serie armónica, que diverge.

Answer 2

Insinuación:

Para$\lvert z\rvert = 1$, considere la representación en serie de $$\ log (z) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n +1}} {n} ( z-1) ^ n.$$ ¿Qué sucede para$z$ en el círculo unitario?