Sea E una elipse centrada en el origen de la x, y el avión con mayor radio de b y el radio menor a. La longitud de la línea más corta segmento de la tangente a E que comienza en el eje x y termina en el eje y es a+b. Esto puede ser mostrado usando multiplicadores de Lagrange. Esta respuesta es muy simple y nos lleva a plantearnos la siguiente pregunta:
Puede usted dar un geométricas razón por la cual la longitud es de a+b?
Este fue originalmente me preguntó por Frank Jones hace un par de años.
Hay una forma geométrica para demostrar que $n$-gon circunscrito alrededor de una elipse tiene perímetro mínimo si está inscrita en una elipse confocal. De porism Poncelet (y generalización de la propiedad óptica) se desprende que tenemos familia continua de polígonos "mínimos".
Si lo sabemos, entonces es fácil entender que el rombo circunscrito (a partir de tu pregunta) y la circunscrita rectangular (con perímetro $4(a+b)$) son polígonos mínimos. Por lo tanto, lado del rombo es igual a $a+b$.
Trabajando simultáneamente en los 4 cuadrantes, esto se convierte en una cuestión de minimizar el perímetro de encerrar rhombi con diagonales en los ejes de coordenadas. Demostrando que la desigualdad era Problema de la Semana Nº 13 en la Primavera de 2005 en la universidad Purdue. Aquí es Steven Landy de la solución al problema. La prueba es geométrica en el sentido de Descartes, en lugar de Euclides, y muestra que el mínimo es de, al menos, a+b. No hay ningún cálculo, así que tal vez esto es parecido a lo que estás buscando. (Edit: me entretuvo la ilusión de que esto podría estar cerca de responder a su pregunta, antes de akopyan la respuesta fue publicada.)
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
