Problema sobre$n$ dados de seis caras y la suma de los valores

Question

(AHSME 1994) Cuando se lanzan$n$ dados estándar de seis caras, la probabilidad de obtener una suma de 1994 es mayor que cero y es la misma probabilidad de obtener una suma de$S$. ¿Cuál es el valor más pequeño posible de$S$?

(He estado tratando de usar la función de generación, pero sin éxito. Tomé esta de The Art and Craft of Problem Solving - Paul Zeitz, segunda edición, pág. 8, capítulo 1 ejercicio 1.3.6.)

Answer 1

Necesita$n \geq333$ para tirar$1994$. Imagina una fila de$6$ s. Necesita restar$1$ de algunos de ellos$4$ veces para obtener$1994$. La acción del mismo número de posibilidades sería si reemplazáramos a$6$ con$1$ y restando a sumar. Entonces la suma sería$337$.

En general,$n$ satisface$6n > 1994$ y la suma es$n+(6n-1994) = 7n-1994$, por lo que no tiene sentido considerar$n$%.

Answer 2

Cuando sacas $n$ dados, el total debe ser un entero en el intervalo de $[n,6n]$. Para $n\le k\le 3n$, la probabilidad de obtener un total de $k$ es la misma que la probabilidad de obtener un total de $7n-k$: cada rollo que le da $k$ corresponde a uno que te de $7n-k$ girando cada morir más. Para $n>1$ estos pares son los únicos totales, con igual probabilidad.

En orden para el total $1994$ a ser posible, debe tener $333\le n\le 1994$. El complemento de suma $S$ será $7n-1994$, y usted quiere elegir a $n$ hacer esto tan pequeño como sea posible. Claramente esto se logra al $n$ es tan pequeño como sea posible, es decir, $333$, en cuyo caso $S=7\cdot333-1994=337$.