¿Cómo resolver esto muy rápidamente?

Question

Un número deja un resto$2$ cuando se divide entre$9$. ¿Cuál de los siguientes no podría ser el resto cuando se divide entre$45$?

1. $20$
2. $30$
3. $29$
4. $38$

¿Cómo podríamos resolver esto en un minuto? Por favor explique su enfoque.

Answer 1

Es fácil:$\rm \ 45\ k + n\ =\ 9\ m + 2\ \Rightarrow\ 9\:$ divide$\rm\: n-2\:,\: $ que falla solo para la segunda opción$\rm\:n = 30\:. $

Answer 2

$x = 9k + 2$.

Ahora si $k = 5m + r$, $0 \leq r \leq 4$ a continuación,$x = 45m + 9r + 2$.

Por lo tanto el resto al dividir por $45$ debe ser de la forma $9r + 2$. $30$ no es.

En otras palabras, $x-2$ es divisible por $9$, por lo tanto el resto al dividir $x-2$ por $45$ también debe ser divisible por $9$, como $45$ es divisible por $9$.

En general, si $x$ deja un resto $r$ sobre dividiendo por $a$, los posibles restos que deja cuando se divide por $b$ son de la forma $k \times \text{gcd}(a,b) + r$. ($\text{gcd}$ = máximo común divisor).

En este caso, $\text{gcd}(9,45) = 9$.

Si $a$ e $b$ son co-primo, entonces el resto es posible.

Ver: la Identidad de Bezout.

Answer 3

Menos de un minuto? Cómo extrañamente precisa.

Indicar el número de $n$. Tomar cada una de sus opciones. Si no funcionan, se puede escribir (respectivamente)

1- $n = 45q + 20$

2- $n = 45q + 30$

3- $n = 45q + 29$

4- $n = 45q + 38$

Ahora, sabemos que al dividir por 9 tenemos un resto de 2. Veamos el primer ejemplo. $n = 45q + 20$. Dividiendo $n$ 9 tenemos

$n/9 = (45q + 20) / 9 = 45q/9 + 20/9 = 5q + 20/9$.

Por lo tanto el resto proviene de $20/9$, y como $18 = 9\cdot 2$, el resto es 2. Así que esto es OK! Mirando a cada una de las opciones, se puede ver que 20,29 y 38 todos deben dar un resto de 2 en la división por 9, mientras que la división de 30 por 9 da un resto de 3.