¿Cuál es la probabilidad de que los 3 resultados más comunes de 12 resultados igualmente probables se seleccionen al menos en 11 de una muestra de tamaño 22?

Question

Para un ejemplo ilustrativo:

22 personas se están ordenados en 12 equipos. 12 bolas de colores se colocan en un sombrero. Cada jugador roba una pelota desde el sombrero (con reemplazo) para averiguar cuál de los equipos que se encuentran. Cuando los 3 mas grandes equipos son de contado (selección aleatoria entre los lazos de 3º), el total de estos equipos es de 11 o superior. ¿Cuáles son las posibilidades de que este es el caso?

Esto es lo que he conseguido hasta ahora.

He establecido que el máximo número de configuraciones de los equipos es de (33 elegir 11). Sé que tengo que seleccionar para el más grande de los 3 que puede ser elegido en (13 de elegir 2) maneras. No estoy seguro de cómo comprobar si el más grande de los 3 equipos tienen 11 o más jugadores.

Este problema en realidad se refiere a un no-matemático consulta sobre 12 posibles resultados seleccionados por una muestra de 22 personas. Sólo he fundacionales del conocimiento matemático.

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Fuente de la pregunta:

En las Mazmorras y Dragones, hay 12 clases los jugadores pueden seleccionar. Mientras que la probabilidad de que un jugador selecciona ellos es, obviamente, no al azar en el mundo real, un chatizen amigo mío estaba contemplando una combinatoria pregunta con respecto a un resultado específico de uno de los juegos que se está ejecutando. En particular, 11 de los primeros 22 solicitantes eligió el mismo 3 clases (Mago, guerrero, y Paladín). Entonces, después de más aplicaciones vino comprobar más tarde, durante la conversación), el 50% de las 28 solicitudes todavía estaban estos 3. Así que queríamos un mayor enfoque generalizado, lo que provocó una pregunta aquí. Esta conversación fue en un StackExchange sala de chat, un marcador de la que se puede encontrar aquí.

Answer 1

El recuento de los problemas de este tipo puede ser difícil. Un enfoque para un conteo exacto es por la modelización del equipo de selecciones como una cadena de Markov.

Cada uno de los 22 jugadores se les asigna un color (asignados al azar a partir de los doce posibilidades). Si los resultados son considerados en la asignación de 22 jugadores para los doce equipos, habrá $12^{22}$ posibilidades.

Cuántas de estas satisfacer la condición de que en el final, al menos, once jugadores que pertenecen a no más de tres de los equipos? O, por el contrario, ¿cuántos resultados no tienen más de diez jugadores combinan entre tres equipos?

Contando todas las $12^{22}$ resultados sería mucho tiempo:

$$ 12^{22} \approx 10^{23.74} $$

Pero hay una manera de recortar el resultado de espacio, desde las distintas secuencias de asignación a sólo el entero de las particiones de $22$ en la mayoría de los doce partes.

Según Wolfram Alpha sólo hay $905$ de estos, por lo que la contabilidad es más manejable al menos.

Sin embargo no todas las particiones de este tipo son igualmente probables. La teneduría de libros necesita para mantener un seguimiento de la aplicación no uniforme de las probabilidades para los $905$ los resultados, pero esto es suficiente información para poder comprobar que uno tiene, al menos, once jugadores en alguna combinación de tres equipos.

Necesito hacer un poco de codificación para obtener el exacto (racional) de valor, así que voy a hacer eso y post de mi resultado.

Aquí es un boceto de la probabilidad de transición de estado del proceso. Identificamos los estados con recuentos de la adición de a $n=1,\ldots,22$ (particiones con un máximo de doce piezas de $n$), comenzando con el estado para $n=1$ donde:

$$ 1 = 1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 $$

Este "inicial" del estado que se alcanza con una probabilidad de $1.0$ después de la primera bola de color se elige, aunque el subyacente de la opción de color que no está demostrado (y que podría ser uno de los doce colores).

Después de la segunda bola se dibuja, hay dos estados posibles (particiones de $2$ con un máximo de doce partes). Las probabilidades de que los dos estados son ahora desiguales en esta segunda etapa, ya que es más probable un color diferente será dibujado que es del mismo color:

$$ 2 = 2+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 $$

$$ 2 = 1+1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 $$

Estos estados han respectivas probabilidades a paso $2$ de $1/12$ e $11/12$.

Las reglas para la multiplicación de las probabilidades de un paso al siguiente son sencillas pero tedioso. El número de miembros crece inexorablemente, y muchos de los miembros han llegado a tener insignificante probabilidades. Pero el combinado de la probabilidad de todos los estados en cualquier paso es $1.0$, y no hay sustracciones (que hace de punto flotante de cálculo bastante robusto y fiable).