Integral de tipo gaussiano

Question

Hace mucho tiempo que no necesito hacer integración ... espero que pueda ayudar

¿Cuál es el resultado de lo siguiente donde$\alpha$ es una constante;

PS

¿Ayuda la siguiente sustitución?

PS

lo que da

PS

Cualquier consejo sería agradecido.

Answer 1

OK, aquí es de Maple resultado... $$ \int_0^\infty \frac{\exp\left(-(w^{-2/3}-a)^2\right)\;dw}{w^{5/2}} = U_{13}L^{(1/2)}_{3/8}(a^2)+ U_{33}L^{(3/2)}_{3/8}(a^2)+ U_{17}L^{(1/2)}_{7/8}(a^2)+ U_{37}L^{(3/2)}_{7/8}(a^2) $$
donde $$ U_{13} = \frac{-3\pi^{3/2} a \sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}(64a^4-40a^2-15)e^{-a^2}}{244\;\Gamma(7/8)} \\ U_{33} = \frac{3\pi^{3/2} a^3 \sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}(2a-1)(2a+1)e^{-a^2}}{14\;\Gamma(7/8)} \\ U_{17} = \frac{-\sqrt{\pi}\;\Gamma(5/8)(128 a^6-256 a^4 -42 un^2-7)(1+\sqrt{2})e^{-a^2}}{88} \\ U_{37} = \frac{\sqrt{\pi}\;\Gamma(5/8)a^2(64 a^4-72 un^2-7)(1+\sqrt{2})e^{-a^2}}{44} $$ y $L_n^{(\alpha)}(x)$ es el generalizados de Laguerre función. No tengo su definición al $n$ e $\alpha$ no son números enteros, aunque. Presumiblemente Arce no.

Por ejemplo, cuando se $a=1$, obtenemos $2.936418$, tanto numérica de la integral, y de la Laguerre función de la versión.