¿Cómo escribir una descomposición reducida de la palabra más larga en un grupo de Weyl? Por ejemplo, ¿cómo escribir una descomposición reducida de la palabra más larga en el grupo de tipo B3 Weyl? Para una descomposición de la palabra más larga, ¿cómo podemos escribir un orden de raíces positivas? Estoy haciendo estas preguntas porque estoy tratando de entender la Sección 2.4 de http://arxiv.org/abs/math/0202148 . Muchas gracias.
Respuesta
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He aquí un algoritmo para la búsqueda de un reducido palabra de descomposición.
- Empezar con $w=e$ (=la palabra vacía) y $\lambda=-\rho=-\sum_i\lambda_i$, donde el $\lambda_i$ son la parte fundamental dominante pesos determinado por $\langle \lambda_i,\check{\alpha_j}\rangle=\delta_{ij}$. Aquí $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ son simples positivo raíces.
- Si existe un índice $i$ tal que $\langle\lambda,\alpha_i\rangle <0$, vamos a $i_0$ ser uno de esos (por ejemplo, el menor índice, por lo que no es necesario comprobar demasiados). Si no $i$ existe, a continuación, salir con salida $w$.
- Reemplace $w$ con $s_{i_0}w$ e $\lambda$ con $s_{i_0}(\lambda)$. Volver al paso 2.
Aquí inicialmente $\lambda$ está en el negativo de la dominante Weyl cámara. En cada iteración la lleva un simple reflejo más cerca de la dominante de la cámara, y al final no va a llegar a él. El número de simple reflexiones será igual al número de raíces positivas, así que usted puede utilizarlo como una condición de parada así.
Vamos a hacer un ejemplo de ejecución con $B_3$. Aquí $\alpha_3$ es la simple y corta de raíz.
$$ \begin{array}{c|l} \lambda& w\\ \hline (-1,-1,-1) &e\\ (1,-2,-1) &s_1\\ (-1,2,-5) &s_2s_1\\ (1,1,-5) &s_1s_2s_1\\ (1,-4,5) &s_3s_1s_2s_1\\ (-3,4,-3) &s_2s_3s_1s_2s_1\\ (3,1,-3) &s_1s_2s_3s_1s_2s_1\\ (3,-2,3) &s_3s_1s_2s_3s_1s_2s_1\\ (1,2,-1) &s_2s_3s_1s_2s_3s_1s_2s_1\\ (1,1,1) &s_3s_2s_3s_1s_2s_3s_1s_2s_1 \end{array} $$
Sabíamos de antemano que el sistema de raíces de tipo $B_3$ tiene nueve positivo raíces, por lo que previsiblemente tenemos un peso fundamental en el Weyl cámara después de nueve sencillas reflexiones. Esta presentación como un producto de simples reflexiones no es única (podríamos haber utilizado otro simple reflexión en varios puntos). Sin duda, usted sabía que ya.
No soy positivo sobre el significado de la sistematización de las raíces positivas. Sospecho (una conjetura basada en el contexto, que es el orden en el que las palabras parciales construcción de la más larga elemento de mapa de las raíces positivas a las negativas. Deje $w_i$ a ser el elemento del grupo de Weyl que es el producto de $i$ primer sencillo reflexiones en nuestra descomposición de los más largos del elemento. A un elemento del grupo de Weyl se asocia el conjunto $\Phi_i$ de los positivos raíces $\beta$ tal que $w_i(\beta)$ es un negativo de la raíz. Se sabe que $|\Phi_i|=i$. También se sabe que si $w_{i+1}=s_{i+1}w_i$, luego $\Phi_i\subset \Phi_{i+1}$ , y que el positivo de la raíz en $\Phi_{i+1}$ "falta" de $\Phi_i$ luego $\beta_{i+1}:=w_i^{-1}(\alpha_{i+1})$. Así, tenemos un vago natural de pedidos relacionados con la descomposición: $\beta_1<\beta_2<\beta_3<\cdots$. Con 2 dimensiones los sistemas de raíces de usted, a continuación, obtener todo lo que de positivo raíces "en un sistema de rotación de orden" (que es por eso que estoy pensando que esto es lo que significa). Por ejemplo, en el tipo de $A_2$ usted obtiene uno de los primeros sencillos raíces, entonces el más alto de la raíz (=el uno entre el simple raíces), y el otro simple de la raíz es el último en unirse.
No estoy muy seguro de esto, porque también es posible el uso de palabras parciales recorta desde el otro extremo de la descomposición, y construir un poco diferente de la interpretación, pero análoga a la ordenación. Si el documento citado ha trabajado ejemplos, entonces debería ser posible realizar ingeniería inversa de este. No tengo el tiempo para profundizar en este día de hoy. ¿Encaja esto en absoluto?
