por qué $HF_p$ (espectro de Eilenberg Mac Lane) smash X (espectro conectivo con grupos de cohomología de tipo finito) es una cuña de suspensiones de $HF_p$ ?

Question

Por qué $HF_p$ (Espectro de Eilenberg Mac Lane) destrozar $X$ (espectro conectivo con grupos de cohomología de tipo finito) es una cuña de suspensiones de $HF_p$ ?

Se trata de la proposición 2.1.2 (g) del libro verde de Ravenel. ¿Puede alguien explicarlo un poco?

Gracias1

Answer 1

Déjame escribir $HK$ para el espectro de Eilenberg-Maclane, donde $K = \mathbb{F}_{p}$ es el campo con $p$ elementos.

Conoce los grupos de homotopía de $X \wedge HK$ son precisamente los grupos de homología de $X$ que son duales a la homología al estar sobre un campo y a la cohomología de $X$ es de dimensión finita. Así, se puede elegir un conjunto localmente finito de generadores de estos grupos de homotopía (como $K$ -vectoriales) y utilizarlos para obtener un mapa

$\psi: Y = \bigvee _{i \in I} \Sigma ^{d_{i}} \mathbb{S} \rightarrow X \wedge HK$ ,

de una cuña localmente finita del espectro de la esfera. Ahora se puede aplastar el mapa anterior con $HK$ y precomponer con el mapa de estructura $id_{X} \wedge m: X \wedge HK \wedge HK \rightarrow X \wedge HK$ , donde $m: HK \wedge HK \rightarrow HK$ es la multiplicación, para obtener

$\phi: Y \wedge K = \bigvee _{i \in I} \Sigma ^{d_{i}} HK \rightarrow X \wedge K$ .

Se trata de un isomorfismo en grupos de homotopía por construcción, como se puede ver a continuación. Sabemos que los grupos de homotopía de $Y \wedge K$ ya que son grupos de homología simple de $Y$ y por lo tanto son un grado libre $K$ -espacio vectorial sobre generadores

$\Sigma ^{d_{i}} \mathbb{S} \simeq \Sigma ^{d_{i}} \mathbb{S} \wedge \mathbb{S} \rightarrow _{j_{i} \wedge u} Y \wedge HK$ ,

donde $j_{i}: \Sigma ^{d_{i}} \mathbb{S} \rightarrow Y$ es la inclusión del $i$ -ésima sumatoria y $u: \mathbb{S} \rightarrow HK$ es el mapa unitario del espectro del anillo $HK$ . Esto se deduce del hecho de que la homología del espectro de la esfera es $K$ -espacio vectorial generado por la unidad $u: \mathbb{S} \rightarrow HK \simeq \mathbb{S} \wedge HK$ y el hecho de que la homología lleva la cuña a las sumas directas.

Volver al mapa $\phi: Y \wedge HK \rightarrow X \wedge HK$ que afirmé que era una equivalencia débil, ahora sabemos que ambos espacios tienen los mismos grupos de homotopía, por lo que basta con demostrar que $\phi$ lleva los generadores a los generadores. Pero la composición en cuestión es

$\Sigma ^{d_{i}} \mathbb{S} \simeq \Sigma ^{d_{i}} \mathbb{S} \wedge \mathbb{S} \rightarrow _{j_{i} \wedge u} Y \wedge HK \rightarrow _{\psi \wedge id_{HK}} X \wedge HK \wedge HK \rightarrow _{id_{X} \wedge m} X \wedge HK$ .

que es igual a

$\Sigma ^{d_{i}} \mathbb{S} \rightarrow Y \rightarrow _{\psi} X \wedge HK$ ,

como sabemos $HK \simeq HK \wedge \mathbb{S} \rightarrow _{id_{HK} \wedge u} HK \wedge HK \rightarrow _{m} HK$ es la identidad, ya que $HK$ es un espectro de anillo (es decir, un monoide en la categoría de homotopía estable). Este es uno de los generadores que elegimos al principio y hemos terminado.

Creo que este argumento funciona con una mayor generalidad, es decir, sólo se necesita que el espectro del anillo $R$ (aquí $HK$ ) en cuestión es un campo, es decir $\pi_{*}(R)$ es un campo graduado.