Una pregunta sobre la probabilidad

Question

Me he encontrado con una pregunta interesante:

Si hoy llueve, la probabilidad de que mañana llueva es $0.6.$ Si hoy no llueve, la probabilidad de que mañana llueva es $0.2.$ Dado que el martes llovió, ¿cuál es la probabilidad de que llueva el lunes?

No tengo ni idea de cómo resolver esto.

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Si hago la pregunta un poco más complicada: Dado que el martes llueve, ¿cuál es la probabilidad de que el domingo anterior lloviera?

Answer 1

Déjalo, $P(M)$ sea la probabilidad de que lluvias el lunes, $P(T)$ sea la probabilidad de que lluvias al día siguiente que es el martes

Déjalo, $P(T/M)$ sea la probabilidad de que lluvias el martes dado que llovido el día anterior, que es el lunes, $P(M \cap T)$ sea la probabilidad de que lluvias en dos días consecutivos, lunes y martes

$P(T/M)=0.6$

$P(T/\overline{M})=0.2$

$P(T/M)$ y $P(T/\overline{M})$ son eventos mutuamente excluyentes

es decir $P((T/M) \cup (T/\overline{M})) = P(T/M) + P(T/\overline{M}) = 0.8$

es decir $P(T) = 0.8$

tenemos de la probabilidad condicional,

$P(M \cap T) = {P(M)}{P(T/M)} = P(M)(0.6)$ -------(1)

también tenemos,

$P(M \cup T) = P(M) + P(T) - P(M \cap T)$ -------(2)

utilizando las ecuaciones (1) y (2), tenemos,

$P(M \cup T) = P(M) + 0.8 - P(M)(0.6)$

$P(M) = \frac{5}{2}P(M \cup T) - 2$ -------(3)

nosotros, sabemos que la probabilidad de cualquier evento es $\le 1$

conjunto, $P(M \cup T) \le 1$ en la ecuación (3) para obtener $P(M) \le \frac{1}{2}$

es decir $$0 \le P(M) \le \frac{1}{2}$$

Answer 2

Si hay alguna probabilidad constante $p$ de lluvia en un día determinado, en ausencia de información sobre las precipitaciones de cualquier otro día, entonces tenemos $p = 0.6p + 0.2(1-p)$ que se puede resolver para dar $p=1/3$ .

Por lo tanto, la probabilidad de que llueva el lunes y el martes (si no sabemos ya que llovió el martes) es $p \cdot 0.6 = 1/5$ . La probabilidad de que llueva el martes pero no el lunes (si no sabemos ya que llovió el martes) es $(1-p) \cdot 0.2 = 2/15$ .

Pero estos son los casos en los que SABEMOS que llovió el martes; por lo que la probabilidad de que haya lluvia el lunes dado que llovió el martes es $\dfrac{1/5}{1/5+2/15} = \dfrac{3}{5}$ .

Sin embargo, es posible que no exista esa probabilidad constante $p$ . En este caso, a medida que pasa el tiempo, la probabilidad de que llueva de un día a otro se acercará a 1/3 en el límite. Esto sólo es un problema si el mundo ha existido durante un número finito de días. En este caso, sin embargo, no hay suficiente información para resolver el problema.

Answer 3

Nota: La respuesta de David es la correcta, nunca se me ocurrió buscar una solución de estado estacionario para encontrar la probabilidad de que llueva en un día determinado. Estoy 'deshaciendo' esta respuesta a petición de David:

No se puede resolver el problema sin más información.

Dejemos que $R_M, R_T$ corresponden a las lluvias del lunes y el martes respectivamente. Nos dan $P(R_T | R_M) = 0.6$ y $P(R_T|\overline{R_M}) = 0.2$ . El deseo es calcular $P(R_M|R_T) = \frac{P(R_M \cap R_T)}{P(R_T)}$ .

Tenemos $P(R_T \cap R_M) = 0.6 P(R_M)$ y $P(R_T \cap \overline{R_M}) = 0.2P (\overline{R_M}) = 0.2P (1-P(R_M))$ .

Desde $R_T = (R_T \cap R_M) \cup (R_T \cap \overline{R_M})$ tenemos $P(R_T) = 0.2 + 0.4 P(R_M)$ .

En consecuencia, tenemos $P(R_M|R_T) = \frac{P(R_M \cap R_T)}{P(R_T)} = \frac{0.6 P(R_M)}{0.2 + 0.4 P(R_M)}$ . Como el mapa $p \mapsto \frac{0.6 p}{0.2 + 0.4 p}$ es una biyección de $[0,1]$ a $[0,1]$ puede elegir cualquier $P(R_M|R_T) \in [0,1]$ y encontrar el correspondiente $P(R_M)$ que producirá su $P(R_M|R_T)$ .

Answer 4

Definir los eventos como $A$ día de lluvia $n$ . $B$ día de lluvia $n+1$ . Se nos da $P(B|A) = 0.6$ y $P(B|\bar A) = 0.2$ Tenemos que encontrar $P(A|B)$

Utilizando el teorema de Bayers tenemos $$P(A|B) = \dfrac { P(B|A) \cdot P(A)} { P(B) }$$ También $$P(B) = P(B|A) + P(B|\bar A) = 0.6+0.2 = 0.8$$ Aquí no sabemos $P(A)$ . Así que el problema es incompleto.

Ahora bien, si uno asume $P(A) = P(B) = 0.8$ tenemos $$P(A|B) = \dfrac { P(B|A) \cdot 0.8} { 0.8 }$$ $$P(A|B) = P(B|A) $$ $$P(A|B) = 0.6 $$