mida$\lambda(E)=0$ o$\lambda(E)=+\infty$

Question

Deja que$\mu$ sea una medida finita, deja que$\lambda<<\mu$ ($\lambda$ es una escritura absolutamente continua.$\mu$)

deje que$P_n$,$N_n$ sea una descomposición de Hahn para$\lambda-n\mu$. Deje$P=\cap P_n$ y$N=\cup N_n$.

Cómo probar:$N$ es$\sigma-$ finito para$\lambda$ y

si$E\subset P$ f,$E\in \mathbf{X}$, entonces mida$\lambda(E)=0$ o$\lambda(E)=+\infty$

pensamos que desde$\lambda<<\mu$, entonces$\lambda$ también debería ser finito. pero la pregunta dice$\lambda(E)=+\infty$. nos hemos quedado estancados. Podrias ayudarme por favor

Answer 1

Suponiendo que $P_n$ es positivo en la descomposición de $\lambda-n\mu$, tenga en cuenta que para cada una de las $n$, $$ (\lambda-n\mu)(N_n)\leq 0 $$ Desde $0\leq \mu(N_n)<\infty$, esto es equivalente a $\lambda(N_n)\leq n\mu(N_n)<\infty$, es decir, cada una de las $N_n$ ha finito medida con respecto a $\lambda$. De ello se desprende que $N$ es $\sigma$-finito.

A continuación, vamos a $E$ ser un subconjunto medible de $P$. Desde $E\subset P_n$ por cada $n$ e $P_n$ es un conjunto positivo con respecto a $\lambda-n\mu$ luego $$ 0\leq (\lambda-n\mu)(E) $$ De nuevo, desde el $0\leq \mu(E)<\infty$, esto es equivalente a $n\mu(E)\leq \lambda(E)$ y esto es válido para cada entero positivo $n$. Si $\mu(E)=0$,, a continuación, $\lambda(E)=0$ porque $\lambda\ll\mu$. Si $0<\mu(E)$ entonces $\lambda(E)=\infty$ porque en este caso, podemos hecha $n\mu(E)$ tan grande como queramos y la desigualdad $n\mu(E)\leq \lambda(E)$ tendrá siempre.