Buscando$\mathbf{10}\otimes \mathbf{8}\otimes \mathbf{8}\otimes \mathbf{8}$ en$SU(3)$

Question

Sé que en$SU(3)$$$\mathbf{8}\otimes \mathbf{8} = \mathbf{27}+\mathbf{10}+\mathbf{\bar{10}}+\mathbf{8}+\mathbf{8}+\mathbf{1}. $ $

¿Cómo se puede usar esto para calcular$$\mathbf{10}\otimes \mathbf{8}\otimes \mathbf{8}\otimes \mathbf{8}?$ $?

¿Se puede comenzar simplificando (eliminando la notación en negrita)?

$$ \ tag {1} \ mathbf {10} \ otimes \ mathbf {8} \ otimes \ mathbf {8} = 10 \ otimes27 \\ +10 \ otimes10 \\ +10 \ otimes \ bar {10} \\ +10 \ otimes8 \\ +10 \ otimes8 \\ +10 \ otimes1? $$

¿Está bien$(1)$ incluso?

Answer 1

Aquí es una parte de la respuesta. Todos estos cálculos se viene de aquí.

En términos de ese sitio web, pensamos en $SU(3)$ as $A_2$. A continuación, el $10$ dim rep es más alto peso $(3,0)$ en su notación (y el $\overline{10}$ tiene es más alto peso $(0,3)$). El $27$ d rep es $(2,2)$. La notación de la página web utiliza es $X[3,0]$, $X[0,3]$, o $X[2,2]$ respectivamente.

De acuerdo con el sitio web, tenemos

$$10\otimes 27 = 1X[5,2] +1X[3,3] +1X[4,1] +1X[1,4] +1X[2,2] +1X[3,0] +1X[0,3] +1X[1,1],$$ o en su notación,

$$10\otimes 27 = 81 + 64 + 35 + \overline{35} + 27 + 10 + \overline{10} + 8$$

Un pequeño descargo de responsabilidad: en $SU(3)$, la dimensión de una representación no determinar la representación, incluso descontando el conjugado representaciones. Por ejemplo, $X[2,1]$, $X[4,0]$, $X[1,2]$, y $X[0,4]$ son cada uno de los distintos irreductible $15$ representaciones tridimensionales. Así, la notación como $8$, $10$, $\overline{10}$, mientras inequívoca, sería ambigua aplica al número $15$.