¿Cómo puedo resolver un vector desconocido dado un producto cruzado conocido?

Question

Dado conocidos vectores $\vec a$ e $\vec b$, es posible resolver para $\vec u$, dada la siguiente ecuación?

$\vec a \times \vec u = \vec b$

Hasta ahora he encontrado que el siguiente debe ser verdadero

$\vec u = \vec c + \lambda \hat a$

donde

• $\vec c = \frac{b}{a} (\hat b \times \hat a) = \frac{\vec b \times \vec a}{a^2}$
• $\lambda \in \Bbb R $

pero no estoy seguro de si es posible determinar el $\vec u$, ya que cualquier vector de $\vec u$ tal que

$(\vec u \cdot \hat c) \cdot \hat c = \vec c$

debe hacer el truco, lo que significa que $\lambda$ puede tomar cualquier valor.

Sin embargo, al desarrollar el producto cruzado $\vec a \times \vec u = \vec b$ a mano, uno puede llegar a una ecuación matricial de la forma

$ A \cdot (\vec x)^t = (\vec b)^t $

donde $A$ es una matriz con los coeficientes de $ \vec a $ y que es solucionable con al menos un método, un ejemplo de los cuales se

$ (\vec x)^t = A^{-1} \cdot (\vec b)^t $

Estoy haciendo algo mal? O es esta ecuación realmente no solucionable mediante vectorial de matemáticas?

Answer 1

El operador $L_{\vec{a}} \colon \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por

$$ L_{\vec{a}}(\vec{u}) = \vec{a} \times \vec{u} $$

es un operador lineal. Hay dos casos:

1. Si $\vec{a} = 0$ entonces $L_{\vec{a}}$ es el operador cero y por lo que su ecuación tiene solución si y sólo si $\vec{b} = 0$, en cuyo caso cualquier vector $\vec{u} \in \mathbb{R}^3$ es una solución de la ecuación.
2. Si $\vec{a} \neq 0$, entonces el operador $L_{\vec{a}}$ tiene un uno-dimensional kernel (distribuido por $\vec{a}$) y una imagen de dos dimensiones (dado por $\operatorname{span} \{ \vec{a} \}^{\perp}$). En este caso, la ecuación tiene solución si y sólo si $\vec{b} \perp \vec{a}$ y entonces no habrá una solución única, sino un uno-dimensional de la familia de soluciones de $\vec{u} = \vec{u}_0 + t\vec{a}$ donde $\vec{u}_0$ es cualquier solución particular. De hecho, hemos $$ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = \vec{a} \times ((b_2 a_3 - b_3 a_2) \vec{e_1} + (b_3 a_1 - b_1 a_3) \vec{e}_2 + (b_1 a_2 - b_2 a_1) \vec{e}_3) = \\ (a_2 (b_1 a_2 - b_2 a_1) - a_3 (b_3 a_1 - b_1 a_3)) \vec{e}_1 + \\ (a_3 (b_2 a_3 - b_3 a_2) - a_1(b_1a_2 - b_2 a_1)) \vec{e_2} +\\ (a_1(b_3a_1 - b_1 a_3) - a_2 (b_2a_3 - b_3a_2)) \vec{e}_3 = \\ (b_1(a_2^2 + a_3^3) - a_1(a_2b_2 + a_3b_3))\vec{e}_1 + \\ (b_2(a_1^2 + a_3^2) - a_2(a_1b_1 + a_3b_3))\vec{e}_2 + \\ +(b_3(a_1^2 + a_2^2) - a_3(a_1b_1 + a_2b_3) )\vec{e}_3 = \\ \vec{b} \|\vec{a}\|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} $$ así que si $\vec{b} \perp \vec{a}$ entonces $\vec{u} := \frac{\vec{b} \times \vec{a}}{\| \vec{a}\|^2}$ resuelve la ecuación y todas las soluciones tienen la forma $\frac{\vec{b} \times \vec{a}}{\| \vec{a}\|^2} + t\vec{a}$ para algunos $t \in \mathbb{R}$.

En cualquier caso, el operador $L_{\vec{a}}$ no es invertible, por lo que si usted representa a la ecuación de $L_{\vec{a}}(\vec{u}) = \vec{b}$ como una ecuación de matriz $A\vec{u} = \vec{b}$ la matriz $A$ no ser de rango completo así que no puedes invertirlo.

Answer 2

El producto cruzado se puede escribir como multiplicación de matrices:

PS

Ahora esto se puede resolver para$$\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3} = \vec{b} = \vec{a} \times \vec{u} = \pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3} \times \pmatrix{u_1 \\ u_2 \\ u_3} = \pmatrix{a_2u_3 - a_3u_2 \\ a_3u_1 - a_1u_3 \\ a_1u_2 - a_2u_1} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0\end{bmatrix}\pmatrix{u_1 \\ u_2 \\ u_3} $ como cualquier sistema lineal, por ejemplo, con reducción de filas. WLOG asume$\vec{u}$.

$$ \ left [\begin{array}{ccc|c} 0 & -a_3 & a_2 & b_1 \\ a_3 & 0 & -a_1 & b_2 \\ -a_2 & a_1 & 0 & b_3 \end {array} \ right] \ sim \ left [\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\frac{a_1}{a_3} & \frac{b_2}{a_3} \\ 0 & 1 & -\frac{a_2}{a_3} & -\frac{b_1}{a_3}\\ 0 & 0 & 0 & \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{a_3} + b_3 \end {array} \ right] $$

Vemos que existe una solución si y solo si$a_3 \ne 0$ y, en ese caso, está dada por:

$b_3 = -\frac{a_1b_1 + a_2b_2}{a_3}$ $ para algunos$$\vec{u} = \pmatrix{u_1 \\ u_2 \\ u_3} = \pmatrix{\frac{b_2}{a_3} \\ -\frac{b_1}{a_3} \\ 0} + \lambda \pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3} = \pmatrix{\frac{b_2}{a_3} \\ -\frac{b_1}{a_3} \\ 0} +\lambda \vec{a}$.

Answer 3

Encontraremos un vector$\vec u$ que satisfaga$$\vec a \times \vec u = \vec b.$$ Assuming $ \ vec a, \ vec b \ ne \ vec 0$ we have that $$\vec u=\frac{|\vec b|}{|\vec a||\vec a\times \vec b|}\vec a\times \vec b.$ $

Si$\vec b=\vec 0$ entonces$\vec u=\vec a$ es una solución.

Por supuesto, si$\vec u$ es una solución, entonces$\vec u+\lambda \vec a$ es una solución. Y no hay más soluciones. ¿Por qué? Porque$\vec b$ es perpendicular al plano generado por$\vec a$ y$\vec u.$