Computar $1 \cdot \frac {1}{2} + 2 \cdot \frac {1}{4} + 3 \cdot \frac {1}{8} + \cdots + n \cdot \frac {1}{2^n} + \cdots $

Question

He intentado calcular los primeros términos para tratar de encontrar un patrón pero he obtenido

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\frac{6}{64}$$

pero sigo sin ver ningún patrón obvio. También he intentado buscar un patrón en la pregunta, pero no veo ningún patrón (¿posiblemente porque lo estoy pensando demasiado?) Por favor, ayúdenme con este problema.

Answer 1

$$I=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\frac{6}{64}+\cdots$$ $$2I=1+1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+\frac{6}{32}+\cdots$$ $$2I-I=1+\left(1-\frac 12 \right)+\left(\frac 34 -\frac 24 \right)+\left(\frac 48 -\frac 38 \right)+\left(\frac {5}{16} -\frac {4}{16} \right)+\cdots$$ $$I=1+\frac 12+\frac 14+\frac 18+\cdots=2$$

Answer 2

$$\sum_{n=1}^\infty nx^n=x\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=x\sum_{n=0}^\infty (x^n)'=x\Bigl(\sum_{n=0}^\infty x^n\Bigr)'=x\Bigl(\frac1{1-x}\Bigr)'=\frac x{(1-x)^2}.$$

Answer 3

La suma por partes da: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{n}{2^n} = N\left(1-\frac{1}{2^N}\right)-\sum_{n=1}^{N-1}\left(1-\frac{1}{2^k}\right)=1-\frac{N}{2^N}+\left(1-\frac{1}{2^{N-1}}\right)=\color{red}{2-\frac{N+2}{2^N}}. $$

Answer 4

Dejemos que

$$ L = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} $$

Entonces,

$$ L = \frac{1}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{n}{2^n} \\ L = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^{n+1}} \\ L = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \\ L = \frac{1}{2} + \frac{L}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \\ \frac{L}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \\ \frac{L}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ \boxed{L = 2} $$

Answer 5

Primero considere la suma parcial mostrando $$ \sum_{n=1}^k \frac{n}{2^n} = 2^{-k}(-k+2^{k+1}-2). $$ Ahora $k\to \infty$ da el resultado $2$ .

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Edición: Prueba de la suma parcial por inducción

$k=1$ : $$\sum_{n=1}^1 \frac{1}{2} = 1/2 = 2^{-1}(-1+2^{2}-2) \quad \checkmark$$

Dejemos que $\sum_{n=1}^k \frac{n}{2^n} = 2^{-k}(-k+2^{k+1}-2)$ sea cierto para cualquier $k\geq1$ .

Paso de inducción: $$ \sum_{n=1}^{k+1} \frac{n}{2^n} = \sum_{n=1}^k \frac{n}{2^n} + \frac{k+1}{2^{k+1}} = 2^{-k}(-k+2^{k+1}-2) + \frac{k+1}{2^{k+1}} = \frac{2(-k+2^{k+1}-2)+k+1}{2^{k+1}} = \frac{-k+2^{k+2}-3}{2^{k+1}} = 2^{-(k+1)}(-(k+1)+2^{k+2}-2) $$