Aproximación de la distribución hipergeométrica con poisson

Question

Actualmente estoy tratando de demostrar que la distribución hipergeométrica converge a la distribución de Poisson.

$$ \lim_{n,r,s \to \infty, \frac{n \cdot r}{r+s} \to \lambda} \frac{\binom{r}{k} \binom{s}{n-k}}{\binom{r+s}{n}} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} $$

Sé, como demostrar para valores concretos, que la distribución hipergeométrica converge a la distribución binomial y a partir de ahí demostramos en nuestro script que la distribución binomial converge a la distribución de Poisson para valores concretos.

No la pregunta es, ¿puedo mostrar la aproximación directamente a través del límite anterior? He pasado del límite anterior a

$$ \lim_{n,r,s \to \infty, \frac{n \cdot r}{r+s} \to \lambda} \frac{\binom{r}{k} \binom{s}{n-k}}{\binom{r+s}{n}} = \cdots = \frac{\lambda^k}{k!}\frac{\frac{(r-1)!}{(r-k)!}\binom{s}{n-k}}{\binom{r+s-1}{n-1}}\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{k-1} $$

¿Pero cómo demostrarlo? $$ \frac{\frac{(r-1)!}{(r-k)!}\binom{s}{n-k}}{\binom{r+s-1}{n-1}}\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{k-1} = e^{-\lambda} $$

Answer 1

Esta es la prueba más sencilla que he podido encontrar.

Simplemente reordenando los factoriales, podemos reescribir la función de probabilidad hipergeométrica como
$$ \mathrm{Prob}(X=x) = \frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{K-x}}{\binom{N}{K}} = \frac{1}{x!} \cdot \dfrac{M^{(x)} \, K^{(x)}}{N^{(x)}} \cdot \dfrac{(N-K)^{(M-x)}}{(N-x)^{(M-x)}}, $$ donde $a^{(b)}$ es la potencia decreciente $a(a-1)\cdots(a-b+1)$ . Desde $x$ es fijo, \begin{align*} \dfrac{M^{(x)} \, K^{(x)}}{N^{(x)}} &= \prod_{j=0}^{x-1} \dfrac{(M-j) \cdot (K-j)}{(N-j)} \\ &= \prod_{j=0}^{x-1} \left( \dfrac{MK}{n} \right) \cdot \dfrac{(1-j/M) \cdot (1-j/K)}{(1-j/N)} \\ &= \left( \dfrac{MK}{N} \right) ^x \; \prod_{j=0}^{x-1} \dfrac{(1-j/M) \cdot (1-j/K)}{(1-j/N)}, \end{align*} que $\to \lambda^x$ como $N$ , $K$ y $M$ $\to \infty$ con $\frac{MK}{N} = \lambda$ .

Reemplacemos $N-x$ , $K-x$ y $M-x$ por nuevas variables $n$ , $k$ y $m$ para simplificar. Como $x$ es fijo, ya que $N,K,M \to \infty$ con $KM/N \to \lambda$ Así que también $n,k,m \to \infty$ con $nk/m \to \lambda$ . A continuación escribimos $$ A = \dfrac{(N-K)^{(M-x)}}{(N-x)^{(M-x)}} = \dfrac{(n-k)^{(m)} }{(n)^{(m)}} = \prod_{j=0}^{m-1} \left( \dfrac{n-j-k}{n-j} \right)= \prod_{j=0}^{m-1} \left( 1 - \dfrac{k}{n-j} \right)$$ y tomar los registros: $$ \ln \, A = \sum_{j=0}^{m-1} \ln \left( 1 - \dfrac{k}{n-j} \right). $$ Dado que la cantidad entre corchetes es una función creciente de $j$ tenemos $$ \sum_{j=0}^{m-1} \ln \left( 1 - \dfrac{k}{n} \right) \le \ln \, A \le \sum_{j=0}^{m-1} \ln \left( 1 - \dfrac{k}{n-m+1} \right), $$ o $$ m \, \ln \left( 1 - \dfrac{k}{n} \right) \le \ln \, A \le m \, \ln \left( 1 - \dfrac{k}{n-m+1} \right). $$ Pero $\ln (1-x) < -x$ para $0 < x < 1$ Así que $$ m \, \ln \left( 1 - \dfrac{k}{n} \right) \le \ln \, A < -m \, \left( \dfrac{k}{n-m+1} \right), $$ y dividiendo por $km/n$ da $$ \frac{n}{k} \, \ln \left( 1 - \dfrac{k}{n} \right) \le \dfrac{\ln \, A}{km/n} < - \, \left( \dfrac{n}{n-m+1} \right) = - \, \left( \dfrac{1}{1-m/n+1/n} \right). $$ Por último, dejamos que $k$ , $m$ y $n$ tienden al infinito de tal manera que $km/n \to \lambda$ . Dado que ambos $k/n \to 0$ y $m/n \to 0$ tanto en el límite izquierdo como en el derecho $\to -1$ . (El límite izquierdo se deduce de $\lim_{n \to \infty} (1-1/n)^n = e^{-1}$ que es un famoso límite en el cálculo). Así que por el Teorema del Apretón tenemos $\ln \, A \to -\lambda$ y por lo tanto $A \to e^{-\lambda}$ . Si se junta todo esto, se obtiene el resultado.