¿Por qué es una consecuencia de una elección de notación que las acciones dejadas son funtores covariantes?

Question

Podría alguien comentar esta observación? No veo cuál es la notación tiene que ver con él.

Que la izquierda acciones son covariantes functors y acciones correctas son contravariante functors es una consecuencia de un básico de anotación elección: podemos escribir el valor de un la función de $f$ a un elemento $x$ como $f(x)$, no $(x)f$. (https://arxiv.org/pdf/1612.09375.pdf; 1.2.14)

Answer 1

Nuestros métodos de representación de elección con respecto a las funciones afecta a lo que los pedidos que se aplican a las funciones en función de la composición ($f\circ g$ significa "primero se aplican $g$, a continuación, aplique $f$", porque esa es la interpretación natural al escribir $f\circ g(x)$), que a su vez es lo que afecta a si un functor covariante de los rendimientos a la izquierda o a la derecha de la acción.

Deje $G$ ser un monoid, y deje $\mathscr G$ ser que monoid di cuenta de como una categoría con un solo elemento $x$. Los elementos de $G$ corresponden a morfismos $x\to x$.

Decir que podemos escribir la función de la aplicación de la forma habitual (es decir, $f(x)$). Tomar un functor covariante $F: \mathscr G\to\mathbf{Set}$. Esto induce a una acción de $G$ en el conjunto de $S=F(x)$ a través de cualquiera de $g\cdot s=F(g)(s)$o $s\cdot g=F(g)(s)$. Cuál es la correcta?

Si tomamos dos elementos $g,h\in G$, a continuación, $gh$ está representado en $\mathscr G$ por los morfismos $g\circ h$. La aplicación de $F$ nos da $F(g\circ h)=F(g)\circ F(h)$. Esta es una función en $S$, y la forma de las funciones de escritura, lo que significa que primero se aplican $F(h)$, a continuación, $F(g)$. En otras palabras, $(gh)\cdot s=g\cdot (h\cdot s)$, no $s\cdot (gh)=(s\cdot g)\cdot h$.

Si $F$ fueron contravariante, a continuación, $F(g\circ h)=F(h)\circ F(g)$, que por un argumento similar se da un derecho de acción.

Ahora, ¿qué pasa si fuéramos a hacer el cambio de notación de la convención? A continuación, $(g)F\circ (h)F$ significaría "Primero se aplican $(g)F$, a continuación, aplique $(h)F$", lo que podría revertir completamente el argumento anterior. Un functor covariante sería aún conservan el orden de la composición, mientras que un functor contravariante iba a invertir, pero esta vez el functor covariante es el que interpreta $gh\in G$ como aplicar $(g)F$ primera.