Definiciones de$2$ en la teoría de conjuntos?

Question

He visto diferentes definiciones del número de $2$ en el conjunto de la teoría. La más sencilla que he visto es la secuencia de $\mathbf{1}=\{\emptyset\}$, $\mathbf{2}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, $\mathbf{3}=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$ y así sucesivamente.

Pero también he leído Russell definición en Principia Mathematica que se define "twoness" como algo a lo largo de las líneas de "El conjunto de todos los conjuntos que no existen elementos $x$ e $y$ beloning para el conjunto donde $x$ no $y$ y si también se $z$ pertenece al conjunto, a continuación, $z=x$ o $z=y$."es decir, el conjunto de todos los conjuntos con dos elementos únicos.

Así, en moderno conjunto de la notación yo trato de expresar esto:

$$\mathbf{2}= \{S: \exists xy:(x\subset S \land y\subset S \land x \neq y \land \forall z:(z\subset S \implies z=x \lor z=y)) \}$$

(No estoy seguro si tengo que bastante a la derecha). Ahora, la segunda definición parece más intuitivo, aunque más complicado. Mientras que la primera definición que parece ser un código con ningún significado lógico. Puedo ver por qué una declaración como $\mathbf{1+1=2}$ tomaría un par de páginas para demostrar que en el caso posterior.

Por lo que es la "correcta" de la definición de los 2?

Answer 1

La primera definición es un buen ejemplo práctico de un conjunto que tiene dos elementos. Lo ven como el "estándar" es un ejemplo de lo que es un conjunto con dos elementos se parece, un representante de el concepto de $2$.

La segunda clase que usted describe es la colección de todas las cosas que tienen dos elementos, por lo que es completamente describe el concepto de tener la cantidad de $2$. El problema es que la segunda clase no es un conjunto: tiene demasiados elementos, y es por lo tanto una clase adecuada. Esto hace que hacer matemáticas con un poco molesto.

Lo de la segunda clase, se describe, es el concepto de cardinalidad: se describen todos los conjuntos de cardinalidad $2$. Otra forma de definir esta clase, sería tomar todos los conjuntos que tienen un bijective función para el conjunto representativo $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$.

Answer 2

Su primer ejemplo (Von Neumann definición) es el más típico set-definición teórica de $2.$ Hay muchas otras opciones que se podrían hacer, pero esta tiene ventajas, el más destacado de los que se generaliza la costumbre de niza definición de los números ordinales.

El segundo ejemplo (creo que hay errores tipográficos, pero lo que pretendemos es claro) no es un conjunto en el marco de trabajo estándar (ZF), sino más bien una clase adecuada. Esta es la clase de todos los conjuntos de cardinalidad dos (o, equivalentemente, con el "twoness" de la propiedad). Su primer ejemplo, podría decirse que es un canónica representante de esta clase.

Sin embargo, es perfectamente razonable tener una definición de los dos que no tienen la twoness de la propiedad. Por ejemplo, la definición de Zermelo ha $0=\emptyset,$ $1= \{\emptyset\},$ $2=\{\{\emptyset\}\},$ etc. Lo importante es que hay alguna forma de asignación de las puse de nuevo a la idea intuitiva de que el número dos en el contexto de las definiciones del resto de los números naturales, no se que es, literalmente, tiene dos elementos. A pesar de que uno podría ver el hecho de que la cardinalidad de un número natural es el número natural en sí misma como otra de las ventajas de los Von-Neumann definición.

Answer 3

Para responder a su pregunta directamente, no trate de pensar que una de estas definiciones es "la correcta". Cada una de estas definiciones es un medio diferente de establecer 'twoness', cada una tiene un diferente matemáticos y/o filosóficas propósito, y cada uno es "correcto" en su contexto apropiado. Me gusta pensar en ellos como diferentes "estándar de los gobernantes para la medición de la "twoness'. [personalmente, creo que la segunda definición está más cerca de la 'correcta' general 'twoness', pero, por desgracia, como Russell señaló, la matemática subyacente en realidad no trabajo a la derecha]

Answer 4

Bueno, no es correcta definición de los dos. Todas estas cosas son construcciones teóricas que no hay otros matemáticos realmente necesita. (Esto no disminuye la teoría de conjuntos. Hacemos lo mismo con otros conceptos, por ejemplo, la geometría Euclidiana, los números reales, etc.)

Sólo hay diversas formas de cómo definir 2 uso de los axiomas. Uno lleva un conjunto denotado $0$ cuya existencia está garantizada por los axiomas, y luego define la $1=\{0\}$ e $2=\{1,0\}$. El otro, básicamente, dice que "cualquier número natural $n$ está representado por cualquier conjunto con exactamente $n$ elementos. La única pregunta es: cuál es más fácil de utilizar para construir lo que usted necesita para construir? Esto es difícil, y lo que es más importante, de nuevo, realmente no es importante para el uso práctico.

Personalmente, me gusta la tan sencillo como no $n<m$ (número) si y sólo $n\in m$ (como juegos), así que el orden de los números naturales muy fácil, también, $n+1 = S(n) = n\cup\{n\}$, dando la función sucesor. En el Russel manera, usted tiene que decir que $n<m$ si existe un grupo que representa a $m$ tal que $n\subset m$, así que es un poco más complicado.