Encontrar una buena función Lyapunov para$ \{ x'= y , y'= -4 x + 5x^3 - x^5 \}$

Question

Para el sistema:

$$\begin{cases}x'= y \\y'= -4 x + 5x^3 - x^5 \end{cases} $$

Estoy tratando de determinar la estabilidad de $(x,y)=(0,0)$ por medio de una función de Lyapunov. Estoy tratando de encontrar una buena, regular $V(x,y)=ax^2 + by^2$ no me ayuda como puedo obtener impar-powered términos y productos de $x$ e $y$ que no cancelar. Específicamente: $$ \dot{V}(x,y) = 2axy + b xy(-1+5x^2-x^4)$$
¿Alguien tiene una idea mejor, ¿cuál es el enfoque general en la búsqueda de una función de este tipo para un determinado problema? Quiero usar de algún modo el hecho de que estos extraños poderes de $x$ e $y$ aparecen en este sistema de ecuaciones, no he descubierto cómo hacerlo de una manera eficaz.

Answer 1

Sugerencia.

El sistema dinámico tiene una integral que se

$$ \frac 12 y^2+\frac{x^6}{6}-\frac{5 x^4}{4}+2 x^2=C $$

El estudio de las curvas de nivel, tenemos los siguientes gráficos

y para $0 < C < 0.915$ hemos cerrado las curvas de nivel en torno al origen caracterización de un centro.

Answer 2

Este es un sistema conservador, ya que es equivalente a $$ x" = -4x + 5x^3 - x^5 = -V'(x) , $$ con el potencial de $$ V(x) = 2x^2 - \tfrac54 x^4 + \tfrac16 x^6 . $$ Por lo $H(x,y)=\tfrac12 y^2 + V(x)$ es una constante de movimiento, y las trayectorias que siguen las curvas de nivel de $H$, que cerca del origen mirar como elipses $2 x^2 + \tfrac12 y^2 = C$. Esto significa que el origen es neutralmente estable (es decir, estable, pero no asintóticamente estable).

Comparar las dos parcelas (en Wolfram Alpha):

• Fase de retrato
• Las curvas de nivel