El operador acotado en el espacio de Hilbert es la proyección ortogonal

Question

Sea ${H}$ sea un espacio de Hilbert, $P:H \to H$ sea un operador acotado tal que $P^2 =P^* = P$ .

Demuestra que $P$ es una proyección ortogonal para algún subespacio cerrado $S \subseteq H$ es decir, para un subespacio cerrado $S$ , $P(x) = \begin{cases}x, x\in S \\ 0, x \in S^{\perp}\end{cases}$

Estoy tratando de entender una prueba dada. La prueba es algo así como:

Defina $S = Im(P)$ . Primero demostramos que $S$ está cerrado.

$P$ está acotada, por lo que es continua, por lo que si $x_n \to x$ entonces $P(x_n) \to P(x)$ pero $P(x_n) = x_n$ así que realmente $x_n \to P(x)$ lo que demuestra que $x = P(x)$ de ahí $x \in S$ .

Detente aquí. Esto supone muchas cosas que no nos fueron dadas.

$P$ al estar acotado implica continuidad sólo si $P$ es lineal. No nos dieron eso.

$P(x_n) = x_n$ sólo si suponemos que $P$ es una proyección ortogonal - ¡¿Que es lo que queríamos mostrar en primer lugar?!

Esta prueba a mis ojos es muy claramente falsa desde el principio. Pero, ¿es correcta la afirmación que intento demostrar?

Answer 1

Esta parte quiere demostrar que $S$ está cerrado.
De hecho, "operador" se refiere aquí a operador lineal y el $x_n$ se toman de $S=\mathrm{im}\, P$ Así que $P^2 =P$ implica $P(x_n)=x_n$ .

Answer 2

En caso de que alguien esté interesado en una prueba completa:

Defina $S = Im(P)$ El primer paso es demostrar $S$ es un subespacio cerrado. Sea $x_n \in S$ tal que $x_n \to x$ .

$P$ está acotada y es continua, por lo que $P(x_n) \to P(x)$ . Obsérvese, no obstante, que $x_n \in S$ entonces hay un $y_n \in H$ tal que $P(y_n) = x_n$ lo que implica $P^2(y_n) = P(x_n)$ . Desde que nos dieron $P^2 = P$ tenemos $P(y_n) = x_n = P(x_n)$ así que, en general.., $x_n \to P(x)$ Así que $P(x) = x$ y así $x \in S$ y $S$ está cerrado.

Ahora dejemos que $w \in S^{\perp}$ y $x \in S$ . Observe que $\langle x,Pw\rangle = \langle P^*x, w \rangle = \langle Px, w\rangle = \langle x,w\rangle = 0$

Por lo tanto $P(w) \in S^{\perp}$ . Pero por definición $P(w) \in Im(P) = S$ por lo que debemos tener $P(w) = 0$ . para todos $w \in S^{\perp}$ .

Por último, dejemos que $y = y_{S} + y_{S^\perp}$ entonces por linealidad $P(y) = P(y_S)+P(y_{S^{\perp}}) = P(y_S) = y_S$

Así que $P$ es la proyección ortogonal a $S$ .

Answer 3

La forma en que demuestro esto es la siguiente:

En primer lugar, dado que $P$ está acotada, es decir, es continua, también tenemos que $I - P$ está acotada, es decir, es continua; ya que si $C_P$ límites $P$ Eso es,

$\Vert Px \Vert \le C_P \Vert x \Vert, \forall x \in H, \tag 1$

entonces

$\Vert (I - P)x \Vert = \Vert Ix - Px \Vert = \Vert x - Px \Vert$ $\le \Vert x \Vert + \Vert Px \Vert \le \Vert x \Vert + C_P\Vert x \Vert = (1 + C_P) \Vert x \Vert, \tag 2$

así que $I - P$ está limitada por $1 + C_P$ Por lo tanto $I - P$ también es continua.

A continuación, observe que

$\text{Im}\;P = \ker(I - P), \tag 3$

$\text{Im}(I - P) = \ker P, \tag 4$

desde

$y \in \text{Im}\;P \Longrightarrow \exists x \in H, \; y = Px$ $\Longrightarrow (I - P)y = (I - P)Px = (P - P^2) = 0 \Longrightarrow y \in \ker(I - P), \tag 5$

y

$y \in \ker(I - P) \Longrightarrow$ $y - Py = (I - P)y = 0 \Longrightarrow y = Py \Longrightarrow y \in \text{Im}\;P; \tag 6$

(5) y (6) establecen conjuntamente (3); también,

$y \in \text{Im}(I - P) \Longrightarrow \exists x \in H, \; y = (I - P)x$ $\Longrightarrow Py = P(I - P)x = (P - P^2)x = 0 \Longrightarrow y \in \ker P, \tag 7$

$y \in \ker P \Longrightarrow (I - P)y = y - Py = y \Longrightarrow y \in \text{Im}\;(I - P); \tag 8$

así (7) y (8) demuestran (4) que, aunque no es esencial para esta respuesta, permite comprender una cierta simetría entre $P$ y $I - P$ .

Ahora a la luz de (2) y (3) vemos que

$S = \text{Im}\;P = \ker(I - P) \tag 9$

está cerrado ya que $I - P$ es continua; también,

$x \in S \Longleftrightarrow \exists y, \; x = Py \Longleftrightarrow \exists y, \; Px = P^2y = Py = x; \tag{10}$

además

$S^\bot = (\text{Im}\;P)^\bot = \ker P, \tag{11}$

para

$z \in (\text{Im}\;P)^\bot \Longleftrightarrow \forall y \in H, \; \langle z, Py \rangle = 0$ $\Longleftrightarrow \forall y \in H, \; \langle Pz, y \rangle = \langle P^\dagger z, y \rangle = 0 \Longleftrightarrow Pz = 0 \Longleftrightarrow z \in \ker P; \tag{12}$

Por lo tanto, vemos que

$x \in S^\bot \Longleftrightarrow x \in \ker P \Longleftrightarrow Px = 0; \tag{13}$

(10) y (13) muestran que $P$ es una proyección ortogonal en el sentido dado en el texto de la pregunta.