Cálculo del grado de mapas específicos sobre esferas.

Question

Estoy tratando de entender la lente de espacios. Mientras que la comprensión de la definición básica es bastante fácil, todo lo que sigue parece ser bastante duro. Quería entender la clasificación hasta homotopy de equivalencia, que se describe como dos ejercicios en Hatcher, el libro de topología algebraica, página 310 en el Capítulo 3.El correo y la página 391 en el Capítulo 4.2.

No se me da muy sean específicos de mapa entre las esferas $f\colon S^{2n-1}\to S^{2n-1}$ definido por $$f(r_1 e^{i\theta_1},\dots,r_n e^{i\theta_n})=(r_1 e^{ik_1\theta_1},\dots,r_n e^{ik_n\theta_n}).$$ Para este mapa necesito para el cálculo de la asignación de grado, que es igual al producto $k_1 \cdot\dots \cdot k_n$. Para estos cálculos nunca he visto una manera general, para hacerlas. Sé que las reglas para la asignación de grados, pero no veo cómo se aplican, ya que solo he probado cosas acerca de los grados, pero nunca calculada ellos. ¿Cómo abordar un problema? ¿Cómo puedo siquiera empezar?

Saludos

Answer 1

Yo creo que he encontrado una buena respuesta a mi pregunta, que no implican ningún cálculo en absoluto, pero me gustaría confirmación de que esto realmente funciona. El argumento es el siguiente:

El único grado de cálculo que he visto fue el grado de la mapa de $S^1\to S^1,\,z\mapsto z^k$ con grado de $k$. Ahora busca en el mapa original, te puedo garantizar, por permuting las entradas, que por encima de $f$ puede ser escrito como una composición de funciones que sólo actúan en una entrada de $S^{2n-1}$. El grado de $f$ a continuación se calcula como el producto de los grados de la sola entrada en acción. Por lo tanto me basta considerar el caso de $k_1=k$ e $k_i=1$ para $i\neq 1$. Hasta el momento estoy muy seguro de que mi argumento funciona. El siguiente paso, aunque podría ser un problema:

No es el mapa de la parte superior con sólo una $k_i\neq 1$ exactamente el $2n-1$veces la suspensión de la exponenciación en $S^1$? ¿Alguien puede verificar esta afirmación?