¿Qué significa cuando no todas las relaciones expresadas por una ecuación también pueden expresarse como una función con una fórmula?

Question

Estoy estudiando un libro de texto de pre-cálculo y mencionó esto:

"Es importante tener en cuenta que no todas las relaciones expresadas por una ecuación también pueden expresarse como una función con una fórmula".

¿Puede alguien ayudarme a entender esto dando ejemplos?

Answer 1

Ejemplo: el círculo. Si un punto en que el avión está a una distancia de $1$ distancia desde el origen, entonces hay una relación entre ese punto s $x$ coordinar y su $y$ de coordenadas. Esa relación está dada por la ecuación $$ x^2 + y^2 = 1 $$ Sin embargo, es imposible escribir esta relación como $y = f(x)$ (o $x = f(y)$) para una función de $f$, como para cualquier $x$ puede haber varios $y$ que cumplir con la relación, y las funciones que no devuelven varios valores a la vez, por definición.

Answer 2

Esto depende de cómo se defina la 'función'.

Si está trabajando fuera del conjunto de la teoría de [estándar] definición de una función, una función es un conjunto de puntos de $(x,y)$ tal que para cada una de las $x$, existe uno y sólo uno de los $y$.

Por lo tanto si $y^2=x$, entonces la ecuación de $f(x)=y$ no representa una función, ya que a $y=\sqrt{x}$ e $y=-\sqrt{x}$ son ambas soluciones válidas.

Una relación, por otro lado puede ser cualquier conjunto de puntos.

No son específicas de los contextos en los que tiene sentido utilizar una definición diferente de "función", tales como el análisis complejo y ciertas teorías de la computación. En estos casos casi cualquier ecuación puede ser pensado como una función, pero se tiende a perder el requisito de que cada entrada sólo produce una sola salida. Por ejemplo, el complejo de varios valores de la función $f(z)=\pm\sqrt{z}$ tiene dos valores de salida para cada número complejo $z$.

Si usted prefiere pensar de funciones como una caja negra del proceso, y están familiarizados con el concepto de 'imágenes', entonces una expresión $f$ es una función fib para cada singleton conjunto $X$, $f(X)$ es también un singleton conjunto.

En el caso de $y^2=x$, sabemos que la expresión de $f(x)=y$ no representa una función, porque, por ejemplo, $f(\{4\})=\{2,-2\}$.

La mayoría de las ecuaciones para las curvas implícitas no son funciones, y muchos ejemplos se pueden encontrar en esta lista.