¿Cuál es la diferencia entre "dualidad" y "simetría" en matemáticas?

Question

Motivado por la respuesta a esta pregunta--"¿Qué tipo de “simetría” tiene el grupo simétrico?", leí el artículo sobre grafo dual. Se dice en este artículo que "el término 'dual' se usa porque esta propiedad es simétrica, lo que significa que si H es un dual de G, entonces G es un dual de H (si G está conectado)." En matemáticas, la dualidad es un fenómeno muy importante y uno puede venir de inmediato con muchos ejemplos (por ejemplo, el espacio dual en análisis funcional). Al mismo tiempo, existen muchos tipos diferentes de simetría en matemáticas. Este artículo wiki señala que "Un concepto de alto nivel relacionado con la simetría es la dualidad matemática.".

Aquí está mi pregunta:

¿Cuál es la diferencia y la relación entre "dualidad" y "simetría"?

Answer 1

No, la dualidad y la simetría no son lo mismo. Aunque en muchos contextos "el dual de" es una relación simétrica, esto no es siempre el caso (por ejemplo, el dual del dual de un espacio vectorial topológico no tiene por qué ser el original).

Más aún, la simetría no se trata solo de relaciones simétricas; tiene que ver principalmente con automorfismos de estructuras algebraicas, geométricas o combinatorias. Esos automorfismos que preservan la estructura (incluyendo el mapeo por identidad trivial) forman un grupo, al que nos referiríamos como el grupo de simetría de la estructura.

Como mencionas, hay muchos tipos de simetría. Algunas simetrías tienen orden dos pero muchas no. De hecho, el grupo de simetrías puede combinar elementos de orden finito con aquellos de orden infinito, elementos que tienen acción discreta con algunos que son mapeos continuos. Las simetrías de un cilindro circular derecho, por ejemplo, incluirían acciones discretas como la reflexión en un plano medio, así como acciones continuas de rotación alrededor del eje.

Si estás buscando una diferencia fundamental, tal vez debería señalarse que la dualidad a menudo implica diferentes categorías, es decir, el dual puede pertenecer a una categoría diferente que la original, mientras que la simetría no solo implica la misma categoría, sino que en realidad es un mapeo del mismo objeto a sí mismo.

Answer 2

Un objeto algebraico, geométrico o combinatorio $\Omega$, que consiste en un "conjunto base" $O$ y que está provisto de elementos de estructura adicionales como una métrica, aristas, operaciones binarias, etc., puede tener simetrías. Una simetría es lo mismo que un automorfismo, es decir, un mapa biyectivo $\phi: \ O\to O$ tal que se preserva cualquier relación relevante entre los elementos $x\in O$. Esto significa que si, por ejemplo, importa que $x*y=z$, entonces se debe tener $\phi(x)*\phi(y)=\phi(z)$. A veces una simetría $\phi$ tiene la propiedad de que $\phi$ no es la identidad, pero $\phi\circ\phi$ lo es. A dicho $\phi$ se le llama una involución.

Ahora, el concepto de dualidad es algo diferente. Una dualidad es una involución no de un solo objeto, sino de toda una teoría. Ejemplos son la dualidad presente (a) en la geometría proyectiva plana o (b) en la teoría de los poliedros convexos.

Ad (a): A cada teorema en la GPP corresponde su teorema dual. El dual del teorema de Pascal sobre $6$ puntos en una cónica es el teorema de Brianchon sobre $6$ tangentes a una cónica.

Ad (b): Un poliedro individual, digamos un sólido platónico, puede tener un conjunto interesante de simetrías. Pero la dualidad es algo mucho más profundo. Dice que a cualquier poliedro $P$, simétrico o no, le corresponde un poliedro dual $\hat P$, de tal manera que las incidencias entre los vértices, aristas y caras de $P$ aparecen invertidas en $\hat P$. El dual de un dodecaedro es un icosaedro.