Pregunta sobre la definición de equivalencia de homotopía.

Question

Esta sección en Homotopy Equivalencia es de Wikipedia.

Me gustaría saber cómo la definición de la X se homotopy equivalente Y que implica la idea de que X e y puede ser transformada de una forma a la otra.

Tomemos, por ejemplo, la banda de Mobius y la torsión de la tira. Siguiendo la definición, a mi entender, es que los dos espacios son tanto homotopy equivalente a la de un círculo, por lo tanto homotopy equivalente a unos de otros. De hecho puedo encontrar mapas entre los espacios que satisfacen las condiciones de la definición. Así que si sigo la definición, está todo bien.

Sin embargo, a partir de ahí tengo problemas para ver la transformación visual entre los dos espacios. Dicen que integramos la banda de Mobius en 3 dimensiones el espacio Euclidiano. Para ir de la banda de Mobius a la torsión de la tira, por ejemplo, me imagino que la banda de Mobius tener que reducir en un círculo y, a continuación, expanda a la torsión de la tira. Se trata de la "expansión" de paso que no entiendo, ya que en este paso de un punto del círculo debe ser asignado a varios puntos de la torsión de la tira. Esto no suena como una función adecuada para mí?

Answer 1

No, No es transformar un espacio a otro de esta manera. Que es sólo la "imagen intuitiva" para que los guíe. Lo que tienen es una homotopy que se lleva a la posición inicial $x$ y el tiempo de $t$, no una función de $H(x,t)$ a $H(x,t+\delta t)$, y no es la interpolación de $X$ a $Y$ pero $X$ a $X$ (para $gf\sim 1_X$) y de manera similar $Y$ a $Y$.