Los 4-colectores orientables cerrados con$H_2(M)\cong \mathbb{Z}$ no admiten acciones libres de$\mathbb{Z}/2$

Question

Las preguntas que se nos pide para demostrar que si $M$ es un cerrado orientable 4-colector tal que $H_2(M)$ es el rango $1$, a continuación, $M$ no admitir una acción libre de $\mathbb{Z}/2$.

Mi intento ha sido supongamos $M$ tiene una acción libre de $\mathbb{Z}/2$. Así que hay una homeomorphism $\phi:M\rightarrow M$ satisfacción $\phi^2=\textrm{id}$. He mirado en la dualidad isomorfismo $H^2(M)\rightarrow H_2(M)$ y a jugar con las identidades como $$ \phi_{\ast}(\phi^{\ast}\alpha\cap[M])=\alpha\cap\phi_{\ast}[M]=\pm\alpha\cap[M] $$ tratando de llegar a algún tipo de contradicción. Pero sospecho que me necesita incorporar a la libertad de asunción para la acción $\mathbb{Z}/2$. Entiendo que esta acción será debidamente discontinua y por lo si $M$ fueron ruta de acceso conectado, a continuación, el cociente mapa de $M\rightarrow M/(\mathbb{Z}/2)$ sería un cubriendo el espacio y el $M/(\mathbb{Z}/2)$ de heredar la estructura de un colector. El problema es que $M$ no es necesariamente trayectoria-conectado. Puede alguien sugerir una manera de procedding?

Answer 1

Deje $\phi\colon M\to M$ ser un homeomorphism con $\phi^2=\text{id}$. Usted puede utilizar el Lefschetz de punto fijo teorema: Si $$\Lambda_\phi=\sum_{k\geq0}(-1)^k \text{Tr}(\phi_*|_{H_k(M;\mathbb{Q})})$$ es distinto de cero, a continuación, $\phi$ tiene un punto fijo. Ahora tenemos $H_k(M;\mathbb{Q})=H_k(M;\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Q}$ y por la dualidad de Poincaré junto con universal coeficientes de $H_k(M;\mathbb{Q})\cong H_{4-k}(M;\mathbb{Q})$. El mapa de $\phi$ induce involuciones en todos estos espacios vectoriales, por lo que es diagonalizable con autovalores $\pm1$. Con estos datos se puede calcular el $\Lambda_\phi\mod 2$ y demostrar que es distinto de cero.

Answer 2

Una acción gratuita de $\mathbb{Z}/2$ conduce a un mapa de cobertura $M \rightarrow M/(\mathbb{Z}/2)$ . Para un mapa de cobertura n-sheeted $X \rightarrow Y$ , $\chi (X)=n\chi(Y)$ . En este caso, $n=2$ y $\chi(M)$ es impar, según la dualidad de Poincare, que produce una contradicción.